1.3.1单调性与最大（小）值
------函数的单调性
一、引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相
应函数的哪些变化规律：
问：随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f (x) = x
① 从左至右图象上升还是下______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 ________ ．
2．f (x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 ______?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随着 ________ ．
3．f (x) = x
①在区间 ____________ 上，f (x)的值随
着x的增大而 ________ ．
② 在区间 ____________ 上，f (x)的值随
着x的增大而 ________ ．
2
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f (x)的定义域为I，如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2 ，当x1 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得f( )>f( )，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.
结论1：一次函数 的单调性，单调区间：
结论2：二次函数
的单调性，单调区间：
（二）典型例题
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；
例2 作出函数 的图象并指出它的的单调区间．
例3 物理学中的玻意定律
(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
探究：P30 画出反比例函数 的图象．
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
结论3：反比例函数
的单调性，单调区间：
例4 证明函数 在（1，+∞）上为增函数．
例5 讨论函数 在(-2,2)内的单调性.
三、归纳小结
1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证
明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间
时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2.直接利用初等函数的单调区间。
四、作业布置
书面作业：课本P32 练习：2、3
P39习题1．3（A组） 第1- 4题．
2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.
1.3.1单调性与最大（小）值
------函数的最大（小）值
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
2.指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）
的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f (x)≥M）．
注 意：
1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，
即存在x0∈I，使得f (x0) = M；
例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的
关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
例3 求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由于20,(x1-1)
(x2-1)>0,于是
因此,函数 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .
（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
课堂练习
1.函数f(x)=y2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值
范围是( )
A.a≥3 B.a≤3
C.a≥-3 D.a≤-3
D
2.在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)
上递增，则f(x)在[1,2]上的值_________.
[21,39]