1．2　函数及其表示
1．2.1　函数的概念
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1．函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意的一个数，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}＝{y|y＝f(x)，x∈A}叫做函数的值域．
2．一个函数的构成要素为定义域、值域、对应法则，由于值域可由定义域和对应关系确定，所以，如果定义域和对应法则相同，我们称这两个函数相同．
3．函数的定义域：
(1)如果f(x)为整式，其定义域为R；
(2)如果f(x)为分式，其定义域为使分母不为零的自变量x的所有取值组成的集合；
(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域为使被开方数非负的自变量x的所有取值组成的集合；
(4)如果f(x)是由以上几个部分的代数式构成的，其定义域为几部分的交集；
(5)f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．
4．a、b∈R且a5．区间实质是表示数轴上一段实数的集合．
6．区间在数轴上表示时，用实心圆点表示包括区间的端点，用空心圆圈表示不包括区间的端点．
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[点评]　一般地，两个非空集合间的对应关系有三种，一对一、多对一、一对多．由函数的定义可知构成函数的对应包括：一对一和多对一两种方式，由一对多构成的对应不能构成函数．
解析：B项给x一个值，y可能没有元素与之对应或有两个元素与之对应；C项给x一个值，y可能没有或有两个元素与之对应；D项当x＝0时，y有两个值与之对应．故选A.
答案：A
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①已知函数的解析式；
②由解析式可确定函数定义域．
解答本题结合相等函数的定义判断函数三要素是否一致即可．
[解]　(1)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域是R，它们的定义域不同，故不相等．
(2)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等．
(3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相等．
(4)定义域相同，都是R，解析式化简后都是y＝|x|，也就是对应关系相同，定义域和对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两函数相等．
[点评]　讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等．
[点评]　(1)求函数值时，要正确理解对应法则“f ”和“g”的含义；
(2)求f[g(x)]时，一般遵循先里后外的原则，先求g(x)，然后将f(x)解析式中的x代换为g(x)，同时要注意函数的定义域．
变式体验3　已知f(x)＝2x＋3，求f(1)，f(a)，f(m＋n)，f[f(x)]的值．
解：f(1)＝2×1＋3＝5；f(a)＝2a＋3；
f(m＋n)＝2(m＋n)＋3＝2m＋2n＋3；
f[f(x)]＝2f(x)＋3＝2(2x＋3)＋3＝4x＋9.
变式体验4　已知y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]．
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(2x－1)的定义域．
解：(1)由于y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，
∴1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5，
∴函数f(x)的定义域为[3,5]．
(2)由(1)可知，3≤2x－1≤5，∴2≤x≤3，
∴函数f(2x－1)的定义域为[2,3]．
类型五　　函数的值域
[例5]　已知函数y＝x2－4x－5，求：
(1)x∈R时的函数值域；
(2)x∈{－1,0,1,2,3,4}时的值域；
(3)x∈[－2,1]时的值域．
[分析]　函数值域是由定义域与对应关系所确定的，在求函数有关问题时，始终要把握好“定义域优先”的原则．
[解]　(1)x∈R，y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，值域为[－9，＋∞)．
(2)当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)－5＝0；
当x＝0时，y＝－5；
当x＝1时，y＝12－4×1－5
＝－8；
当x＝2时，y＝22－4×2－5
＝－9；
当x＝3时，y＝32－4×3－5
＝－8；
当x＝4时，y＝42－4×4－5
＝－5.
∴当x∈{－1,0,1,2,3,4}时函数y＝x2－4x－5的值域为{0，－5，－8，－9}．
(3)∵y＝x2－4x－5(x∈[－2,1])的图象如图1所示，由图象可知函数y＝x2－4x－5在x∈[－2,1]上的最小值为f(1)＝12－4×1－5＝－8，最大值为f(－2)＝(－2)2－4×(－2)－5＝7.
∴其值域为[－8,7]．
[点评]　1.求函数的值域应遵循“定义域优先”的原则．
2．求二次函数的值域要结合二次函数的图象求其值域．
思 悟 升 华
1．判断一个对应关系是否为函数要依据函数的定义，把握3个要点：(1)两集合是否为非空数集；(2)对集合A中的每一个元素，在B中是否都有元素与之对应；(3)A中任一元素在B中的对应元素是否唯一．简单地说，函数是两非空数集上的单值对应．
2．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．
3．确定抽象函数的定义域，一类是由f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域，只要求解不等式a≤g(x)≤b即可；一类是由f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域，只要求出g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
课时作业（6）