1.2 函数及其表示
1.1.2 函数的的概念
1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．
3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
课前自主学习
1．设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ，与x值对应的y值的范围叫做函数的 ．
自学导引
数集
唯一确定
定义域
自变量
值域
2．函数的三要素是 、 和 ．
3．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做 ，表示为 ．
(2)满足不等式a (3)满足不等式a≤x ，分别表示为 ．
(4)实数集R用区间表示为 ．
(5)把满足x≥a，x>a，x≤b，x定义域
值域
对应关系
闭区间
[a，b]
开区间
(a，b)
[a，b)，(a，b]
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)
1．f(x)与f(a)的含义有什么不同？
答：f(x)是自变量x的函数，在一般情况下是一个变量；f(a)表示当x＝a时所得的函数值，是一个常量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如：函数f(x)＝3x＋2，f(2)＝3×2＋2＝8.
2．数集都能用区间表示吗？
答：不一定．区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有的数集都能用区间表示，如{1,3,5,6}就不能用区间表示．
自主探究
预习测评
答案：B
2．下列说法中正确的有 (　　)
①y＝f(x)与y＝f(t)表示相等函数；
②f(x)＝1与g(x)＝x0是相等函数；
③定义域和值域都相同的两函数是相等函数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与y＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
4．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．
解析：当x取－1,0,1,2时，
y＝－1，－2，－1,2，
故函数值域为{－1，－2,2}．
答案：{－1，－2,2}
课堂讲练互动
1．函数概念的理解
(1)函数的两个定义本质相同，传统定义是从变量的变化规律这个角度出发的，而近代定义是从集合的角度出发，事实上，函数就是从一个数集到另一个数集的对应关系．
(2)从函数的定义还可以看出，一旦函数的定义域和对应关系确定，那么函数的值域就确定了．
要点阐释
(4)函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明，函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”，在学习中，我们要细心体会这种关系，逐渐形成对函数本质的理解和对函数思想的自觉利用．例如判断下列图象是否是函数的图象：
显然①②满足“一对一”或“多对一”，而③是“一对多”，故①②是函数的图象，而③不是．
2．函数定义域的求法
(1)求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化．
(2)求函数的定义域，就是求使得函数的解析式有意义的自变量x的取值范围．
当f(x)是整式时，其定义域为R.
当f(x)是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合．
当f(x)是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
对于x0，x不能为0，因为00无意义．
3．函数的值域
对于函数y＝f(x)(x∈A)，与x的值相对应的y值叫函数值．如：函数y＝x2＋5x＋3，当x＝3时，y＝32＋5×3＋3＝27叫做x＝3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．
函数的值域是由对应关系f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合．关于求函数值域问题，是可用初等手段解决的问题，只要依据函数的相应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段来求得其解．
4．区间的概念
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．
5．关于无穷大的说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．
题型一　函数的概念
【例1】 下列对应是否是从A到B的函数？
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→|x|；
②A＝Z，B＝N，f：A→B，平方；
③A＝Z，B＝Z，f：A→B，求算术平方根；
④A＝N，B＝Z，f：A→B，求平方根；
⑤A＝[－2,2]，B＝[－3,3]，f：A→B，求立方．
典例剖析
解：本题详细分析见表：
点评：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
(2)函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
1．判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．
(4)A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，对应关系如图．
解：(1)(4)是函数，(2)(3)不是函数．
(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．
(2)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(3)集合A中的0元素(或－1等等)，在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(4)集合A中的1和3在集合B中有唯一的－1与之对应，集合A中的2和4在集合B中有唯一的1与之对应，故是函数．
题型二　相同函数的判定
【例2】 下列各题中两个函数是否表示相等函数：
解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．
(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
点评：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．
(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．
2．判断下列各组函数是否为相等函数．
解： (1)(2)不是，(3)是．
对于(1)，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，
g(x)的定义域为R；对于(2)，f(x)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，所以(1)，(2)中两组函数均不是相等函数；
对于(3)，两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．
题型三　求函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
错解：函数的定义域为R，即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立，∴Δ＝9k2－4k2<0，此时5k2<0，无解，∴k值不存在．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项
系数的讨论而出错
错因分析：本题忽视了k＝0的讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数．
正解：问题转化为：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值．
纠错心得：求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数．本题中k2x2＋3kx＋1≠0应注意二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心．
1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．
课堂总结
2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．
3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．