1.2 函数及其表示
1.2.1
函数的概念(1)
【学习目标】
1．通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依
赖关系的重要数学模型．在此基础上，学习用集合与对应的语
言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．了解构成函数的要素．
3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．
1．函数的概念
(1)函数的定义：设 A，B 是______________，如果按照某
种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的__________数 x，在集
合 B 中都有__________的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B
为从集合 A 到集合 B 的一个______，记作____________．
(2)函数的定义域与值域：函数 y＝f(x)中的 x 叫做_______，
x 的取值范围 A 叫做函数的________，与 x 相对应的 y 值叫做
________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_______．
非空的数集
任意一个
唯一确定
函数
y＝f(x)，x∈A
自变量
定义域
函数值
值域
(3)函数的三要素：________、________和__________．
注意：由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所
以若两个函数的________和__________完全一致，则称这两个
函数相同．
练习 1：判断以下对应关系(图 1-2-1)是否是函数关系．
图 1-2-1
答案：是
定义域
值域
对应关系
定义域
对应关系
2．区间
(1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做__________，
表示为__________．
闭区间
[a，b]
(2)满足不等式 a＜x＜b 的实数 x 的集合叫做__________，
表示为__________．
开区间
(a，b)
(3) 满足不等式 a≤x ＜b 或 a ＜x≤b 的实数 x 的集合叫做
_______________，分别表示为_______________．
半开半闭区间
[a，b)，(a，b]
(4)实数集 R 用区间表示为______________．
(－∞，＋∞)
(5)把满足 x≥a，x＞a，x≤b，x＜b 的实数 x 的集合分别表
示为________________________________________．
练习 2：满足 x≠2 的实数的集合用区间表示为___________
__________．
[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)
(－∞，2)∪
(2，＋∞)
【问题探究】
2．判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数，并说明
理由．
答案：(1)f(x)＝(x－1)0＝1，这个函数与函数 g(x)＝1 的对应
关系相同，定义域不相同，所以它们不能表示同一个函数．
＝－x 的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不能表示同
一个函数．
(3)函数 f(x)＝x2 与函数 g(x)＝(x＋1)2 定义域相同，对应关
系不同，所以它们不能表示同一个函数．
(4)函数 g(x)＝ ＝|x|与函数 f(x)＝|x|定义域相同，对应关
系相同，所以它们表示同一个函数．
题型 1
对函数概念的理解
【例 1】 设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，如图 1-2-2
)
的四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有(


图 1-2-2
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
思维突破：根据函数定义去判断．
由函数的定义，可知：M 中任一元素在 N 中都有唯一的元
素与之对应，即在 x 轴上的[0,2]内任取一点，作 y 轴的平行线
与图象只有一个交点．
解析：由函数定义，可知：(1)不是，因为当 1在 N 中无元素与之对应；(3)中的 x＝2 对应元素 y＝3∉N，所以
(3)不是；(4)中当 x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，所以
(4)不是．只有(2)符合函数的定义，所以(2)正确．
答案：B
根据函数定义，可知：函数的图象与垂直于 x
轴的直线至多有一个交点，如果有两个或两个以上的交点，那
么就不是函数图象．
【变式与拓展】
1．已知函数 f(x)＝x2＋|x－2|，则 f(1)＝________.
2
题型 2
函数相等的判断
【例 2】 下列各组中的两个函数是否表示同一个函数？
(4)f(x)＝
x2－4
x－2
，g(x)＝x＋2；
(5)f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈Z)；
(6)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
思维突破：判断两个函数是否相等，关键在于看这两个函
数的定义域和对应关系(有时需要化简)是否相同，两者中只要
有一个不相同，两个函数就不是同一个函数．
解：(1)f(x)＝x 的定义域为 R，
因为两函数的定义域不同，所以不是同一个函数．
它与 f(x)＝x 的对应关系不一样，所以不是同一个函数．
(3)g(x)＝ ＝x，
它与 f(x)＝x 的对应关系和定义域相同，
所以是同一个函数．
(4)f(x)＝
x2－4
x－2
＝x＋2(x≠2)，
它与 g(x)＝x＋2 的定义域不同，所以不是同一个函数．
(5)中两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数．
(6)中，虽然自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域
和对应关系都相同，所以表示同一个函数．
讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．
判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不
相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，
则相等，否则不相等．
【变式与拓展】
)
2．下列四组函数中，表示同一个函数的是(
答案：D
题型 3
求函数的定义域
【例 3】 求下列函数的定义域：
思维突破：求函数的定义域，就是求解析式中使各部分都

有意义的自变量的取值范围的公共部分的集合．
解：(1)由 4－x≥0，得 x≤4.

∴函数的定义域是{x|x≤4}．
∴函数的定义域是{x|x≥－4，且 x≠±3}．

(3)由分式的分母不为零，得
(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f(x)是指
数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若 f(x)

是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交

集．(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实

际问题有意义．
【变式与拓展】
即 x≠－1，且 x≠－2.

故函数的定义域是{x|x≠－1，且 x≠－2}．
易错分析：函数的定义域和值域必须写成集合(或区间)的

形式．求函数的定义域要注意：分式的分母不能为 0；偶次方

根的被开方数为非负数．
[方法·规律·小结]
1．判断一个对应关系是否为函数需把握三个要点．

(1)两集合是否为非空数集．
(2)对集合 A 中的每一个元素，在 B 中是否都有元素与之对应．

(3)A 中任一元素在 B 中的对应元素是否唯一．

简单地说，函数是两非空数集上的单值对应．

2．f(x)与 f(a)，a∈A 的关系．
f(a)表示当 x＝a 时的函数值，是一个值域内的值，是常数；

f(x) 表示自变量为 x 的函数，表示的是变量，如 f(x) ＝2x ，当

x＝3 时，f(3)＝2×3＝6.