1.1.3集合的基本运算
观察集合A,B,C元素间的关系:
A={4，5，6，8}，
B={3，5，7，8}，
C={3，4，5，6，7，8}
一、并集：
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集,
记作： A∪B
读作： A并 B
A={4，5，6，8}，
B={3，5，7，8}，
C={5，8}
观察集合A,B,C元素间的关系:
二、交集：
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集,
记作： A∩B
读作： A交 B
A∩B B∩A
（2） A∩A = A∩φ =
A
φ
=
三、并集和交集的性质：
A∪B B∪A
（1） A∪A = A∪φ =
A
A
=
（3） A A∪B
B A∪B
三、并集和交集的性质：
（5） A∩B
A∪B
（4） A∩B A
A∩B B
（7） 若A∩B=A,则A B．
反之,亦然.
三、并集和交集的性质：
（6） 若A∪B=A,则A B．
反之,亦然.
1．能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
自主探究
2．怎样理解并集概念中的“或”字？对于A∪B，能否认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？
答：其中“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B，x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.
对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，违反了集合中元素的互异性．因为A与B可能有公共元素，公共元素只能算一个．
解：A∩B=｛x| -31.5 ｝
=｛x|-3A∪B=｛x| -31.5 }=R
1、设A=｛x|-31.5｝，求：A∩B ，A∪B.
2、设A=｛x|０求：A∩B， A∪B.
解：Ａ＝｛x|0 A∩B=｛x|-1A∪B=｛x|-1课堂练习
3．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.

答案：{(2,5)}
4．已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，则Q∪Z＝________.
解析：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q.
答案：Q
1．设集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B等于(　　)
A．{1,2,2,3} B．{2}
C．{1,2,3} D．∅
答案：C
2．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于 (　　)
A．{x|－5≤x<1} B．{x|－5≤x≤2}
C．{x|x<1} D．{x|x≤2}
答案：A
预习测评
误区解密　因没有明确描述法表示集合时的
代表元素而出错
【例4】 设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于 (　　)
A．{(0,2)，(1,2)} B．{0,1}
C．{1,2} D．{y∈R|y≥1}
错解2：在解方程组的基础上，注意到M、N中代表元素是y，故选C.
错因分析：没有理解集合的描述法的含义，元素的表达式符号是“y”，而不是“(x，y)”，有的同学盲目地将两约束条件联立求得其交点坐标，其实质是误将元素表达式“y”理解成“(x，y)”．
正解：A＝{y∈R|y≥1}，B＝{y∈R|y∈R}，
∴A∩B＝{y∈R|y≥1}，
故选D.
答案：D
纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示的，要首先明确代表元素是什么，再看元素的属性，从而确定该集合表示的意义，是数集，还是点集，是x的取值范围还是y的取值范围，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质．
题型二　已知集合的交集、并集求参数
【例2】 设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3, 2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.
解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，
∴①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，
综上可知a＝－1.
点评：本题考查交集的定义，并考查集合中元素的性质，注意分类讨论思想的运用，在确定集合中的元素时，要注意元素的互异性这一属性以及是否满足题意．
题型三　交集、并集性质的运用
【例3】 若A＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}，B＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，A∪B＝B，求p，q满足的条件．
解：B＝{1,2}，而A∪B＝B，则A⊆B，
故A＝∅或A＝{1}，{2}，{1,2}．
①若A＝∅，则x2＋px＋q＝0无解，
即Δ＝p2－4q<0，∴p2<4q时，A⊆B.
②若A＝{1}，
则x2＋px＋q＝0有两相等实根1，
显然p＝－2，q＝1，
即p＝－2，q＝1时，A⊆B.
③若A＝{2}，则x2＋px＋q＝0有两相等实根2，
显然p＝－4，q＝4，
即p＝－4，q＝4时，A⊆B.
④若A＝{1,2}，则x2＋px＋q＝0的两根为1,2，
由根与系数的关系易求出p＝－3，q＝2，
即p＝－3，q＝2时，A⊆B.
综上可知，p，q满足条件为p2<4q；
点评：在解答集合的交、并运算时，常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题．解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理．另外还要注意“空集”这一隐含条件．
3、已知A={x|-１a},若A∩B=Ф,则实数a的取值范围为：
4、已知A={x|x≤4}, B={x|x>a},若A ∪ B=R,则实数a的取值范围为：
课堂练习
a ≤ 4
{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
题型一　交集、并集的运算
【例1】 求下列两个集合的并集和交集．
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；
(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．
解：(1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,3}．
典例剖析
(2)结合数轴(如图所示)得：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－5
点评：求两个集合的交集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集．
1．(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2(2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B.
解析：(1)画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．

答案：A
解：(2)如图所示，

当a<－2时，A∪B＝A；
当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}；
当a≥2时，A∪B＝{x|－2a}．
2．已知A＝{x|a5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解：由a5}，
在数轴上标出集合A、B的解集，如图．

要使A∪B＝R，
解得－3≤a<－1.
综上可知：a的取值范围为－3≤a<－1.
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.
若B＝∅时，2a>a＋3，即a>3，

解得：－1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a>3}．
1．全集的定义
一般地，如果一个集合含有我们____________
元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 .
2．补集
(1)定义：对于一个集合A，由全集U中________的所有元素组成的集合称作集合A相对于全集U的补集，记作 .
(2)集合表示：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
U
不属于A
∁UA
四、全集与补集：
(3)Venn图表示：
(4)运算性质：∁UU＝ ，∁U∅＝ ，∁U(∁UA)＝ .
∅
U
A
(2)    CU( CUA) =
A
五、补集的性质：
(1)    CUU =
φ
CUΦ=
U
(5) (CUA)∩(CUB)= CU (A∪B)
(6) (CUA)∪(CUB)= CU (A∩B)
U
φ
1．全集一定包含任何一个元素吗？一定是实数集R吗？
答：(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．
(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数范围内研究问题时，则Z为全集；而当问题扩展到实数时，则R为全集，故并非全集都是实数集R.
自主探究
2．怎样理解全集与补集的概念？符号∁UA的含义是什么？
答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号∁UA包含三层意思：
①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U；
③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
1、如果全集U={x|0≤X<6,X∈Z},
A=｛1,3,5｝,B=｛1,4｝
那么，CUA=
CUB=
{x|0｛0,2,4｝
2、如果全集U={x|0 则CUA=
｛0,2,3,5｝
课堂练习
1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于(　　)　　　　　　　　　　　
 A．{0} B．{1} C．∅ D．{0,1}
解析：∵∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}．
答案：D
2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则∁UA等于 (　　)
A．{x|x>2} B．{x|x<2}
C．{x|x≥2} D．{x|x≤2}
答案：C
预习测评
3．若A＝{x∈Z|0解析：∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，C＝{3,5,6,7}，
∴∁AB＝{2,5,6,7,8,9}，∁AC＝{1,2,4,8,9}．
答案：{2,5,6,7,8,9}　{1,2,4,8,9}
4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝________.
解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}，
∴(A∪B)∩(∁UC)
＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．
答案：{2,5}
题型一　补集的运算
【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}
解法二：借助Venn图，如图所示，
典例剖析
点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
反馈演练
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3(1)求∁UA，∁UB；
(2)判断∁UA与∁UB的关系．
解：(1)∵A＝{x|x≥－3}，
∴∁UA＝∁RA＝{x|x<－3}．
又∵B＝{x|－3∴∁UB＝{x|x≤－3或x>2}．
(2)由数轴可知：

显然，∁UA∁UB.
解：把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴(∁RA)∩B＝{x|2题型二　交集、并集、补集的综合运算
【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2点评：(1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
2．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x< －1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)．
解：在数轴上将各集合标出，如图．
由图可知：∁UA＝{x|－1≤x≤3}，
∁UB＝{x|－5≤x<－1或1(∁UA)∩(∁UB)＝{x|1(∁UA)∪(∁UB)＝{x|－5≤x≤3}＝U，
∁U(A∩B)＝U，∁U(A∪B)＝{x|1题型三　利用集合的运算求参数
【例3】 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.
解：因为∁UA＝5，
所以5∈U但5∉A，
所以m2－m－1＝5，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．
综上可知m＝3.
点评：由补集定义5∉A,5∈U知AU且∁UAU，在求得m＝3或m＝－2之后，检验其是否符合隐含条件AU是必要的，否则容易产生增解而出错．
3．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，∁UA＝{5}，求a，b.
【例4】 设全集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1＝0有实数根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}，求(∁UM)∩N.
误区解密 因未对方程二次
项系数进行讨论而错
错因分析：这个结果虽然正确，但解答过程不正确，未对m＝0和m≠0分别讨论．
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．
2．符号∁UA存在的前提是A⊆U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件是我们解题的一个突破口．
3．补集的几个性质：
∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.
课堂总结