【点拨】
【思考】
1.正确认识集合中元素的三个特性
(1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准.
对集合含义的理解
【名师指津】
(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的.简单地说，一个集合中不能出现相同的元素.
(3)无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，如由1，2，3和3，2，1构成的集合是同一个集合.
2.判断一组对象能否组成集合的方法及其关注点
(1)方法：判断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否具有确定性、互异性、无序性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合.
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性、无序性.
【特别提醒】解题时应特别注意集合元素的互异性.
【例1】判断下列各组对象能否组成一个集合:
(1)山东世纪金榜科教文化股份有限公司的所有员工；
(2)篮球比姚明打得好的人；
(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；
(4)本班所有高个子的同学.
【审题指导】本题考查集合的含义及集合中元素的特性，可借助集合元素的确定性来判断.
【规范解答】(1)(3)的对象是确定的，能组成一个集合；(2)中篮球打得好与否没有一个明确的标准，(4)中“高个子的同学”对象不确定，因而不能组成集合.
【变式训练】判断下列对象能否组成集合.
(1)数学中所有的难题；
(2)本班16岁以下的同学；
(3)方程x2-4=0在实数范围内的解；
(4) 的近似值的全体.
【解析】(1)中难题的标准不确定，不能组成集合；
(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.
(3)方程x2-4=0在实数范围内的解有两个，即±2，故能组
成一个集合.
(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判
定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合.
【例2】若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)等腰三角形
【审题指导】欲判断三角形的形状，需判断三边关系或三角关系.由于已知条件涉及三边，故考虑三边之间的关系.
【规范解答】选D.由于集合中元素具有互异性，即a,b,c互不相等，因此△ABC一定不是等腰三角形.
【变式训练】以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有______个元素.
【解析】方程x2-5x+6=0的解是2,3，方程x2-x-2=0的解是
-1,2，故以两方程的解为元素组成的集合中共有3个元素.
答案：3
【误区警示】此题易出现有4个元素的错误答案，原因是忽视了集合中元素的互异性.
1.对于元素与集合关系的两点认识
(1)a∈A与a A取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中
元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a A这两种情
况必有一种且只有一种成立.
(2)符号“∈”“ ”表示元素与集合的从属关系，不能用
来表示集合与集合之间的关系，这一点要牢记.
元素与集合的关系
【名师指津】
2.实数的分类
【特别提醒】对于几个常用数集的符号表示一定要熟练掌握.
【例3】下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;② Q;③0∈Ｎ*;④|-4| Ｎ*
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【审题指导】在研究数与数集之间的关系时，首先应明确数集的含义，每个数集的元素是什么，再判断数与数集的关系.
【规范解答】选B.由R(实数集)、Q(有理数集)、Ｎ*(正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确.
【互动探究】若本例中的R，Q，N*分别换为Q,Z,N,其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】选B.∵π∈R,但π Q,故①不正确.
而 Z，故②正确.
又0∈N,故③正确,|-4|=4∈N,故④不正确.
【变式训练】若集合A含有两个元素0,1,则( )
(A)1 A (B)0∈A
(C)0 A (D)2∈A
【解析】选B.据元素与集合的关系知0∈A,即选项B正确.
【例】定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且
ab∈A且 (b≠0)∈A ”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z,
Q,R是否分别为“闭集”？若是请说明理由；若不是请举反
例说明.
【审题指导】此类问题的解答,应首先理解新定义概念的含
义,在此基础上来求解.
【规范解答】数集N,Z不是“闭集”，数集Q,R是“闭集”.
例如：3∈N，2∈N，而 =1.5 N；3∈Z，-2∈Z，但
=-1.5 Z，故N,Z不是“闭集”.由于两个有理数 a与b的和、
差、积、商，即a±b,ab, (b≠0)仍是有理数，故Q是“闭
集”；同理R是“闭集”.
【变式备选】对任意元素a，若a∈Q，则a∈M，那么集合M
可能是( )
(A)N　 (B)Z　　　(C)Z,Q　　　(D)Q,R
【解析】选D.若a是有理数，则a可以为正数，也可以为负
数或零，因而M不能是N;同理，若a∈Q,则a可能为分数，故
a Z,∴M不能是Z，据此可知，M可能是Q或M可能是R.
【典例】(12分)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值.
【审题指导】本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a=1和a2=1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性.
【规范解答】若1∈A，则a=1或a2=1，即a=±1.
……………………………………………………………4分
当a=1时，集合A有重复元素，∴a≠1； ………………7分
当a=-1时，集合A含有两个元素1，-1，符合互异性.
……………………………………………………………10分
∴a=-1.…………………………………………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
【即时训练】若集合M中含有三个元素-2，3x2+3x-4,
x2+x-4,且2∈M,求x的值.
【解析】由条件分两种情况讨论：
(1)当3x2+3x-4=2时，
3x2+3x-6=0,x2+x-2=0,
∴x=-2或x=1,
经检验,x=-2,x=1均不符合题意.
(2)当x2+x-4=2时,
x2+x-6=0,∴x=-3或x=2,
经检验x=-3,x=2均符合题意.
综上可知x=-3或x=2.
1.下列各选项中可以构成集合的是( )
(A)相当大的数 (B)本班视力较差的学生
(C)长安大学2012级新生 (D)本校优秀的教师
【解析】选C.“相当大的数”“视力较差的学生”“优秀的教师”没有统一的标准，不确定，因而构不成集合.
2.设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
(A)0∈A (B)a A
(C)a∈A (D)a=A
【解析】选C.∵集合A含有元素a，∴a∈A.
3.设x∈N,且 ∈Ｎ,则x的值可能是( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0或1
【解析】选B.首先x≠0，排除A,D;又x∈N，排除C，故选B.
4.方程x2-2x+1=0的解集中，有______个元素.
【解析】方程x2-2x+1=0有两个相等的实根1，根据集合中元素的互异性可知，其解集中只含有一个元素1.
答案：一
5.用符号∈或 填空：
(1)-1____N;(2)-2____Q;(3) ____Z.
【解析】由实数的分类及各种常见数集符号的表示可得
-1 N，-2∈Q, Z.
答案：(1) 　　　(2)∈　　　(3)
6.设A是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a∈A,且3a∈A，求a的值.
【解析】∵a∈A且3a∈A，∴a<6且3a<6，∴a<2，又a是自然数，∴a=0或1.