1．1.1　集合的含义与表示
[例1]　下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体；
⑤ 的近似值的全体．
其中能构成集合的组数是 (　　)
A．2组　　　　 B．3组
C．4组 D．5组
[分析]　集合中的元素必须是确定的．
[解析]　“接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，“ 的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③、④能构成集合．∴选A.
下列各条件中，能够成为集合的是 (　　)
A．与 非常接近的正数
B．世界著名的科学家
C．所有的等腰三角形
D．全班成绩好的同学
[答案]　C
[解析]　对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量，故选C.
[分析]　本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义．
若x∈{1,3，x3}，则有 (　　)
A．x＝0或x＝－1
B．x＝－1或x＝3
C．x＝0或x＝－1或x＝3
D．x＝0或x＝3
[答案]　C
[解析]　∵x∈{1,3，x3}　∴x＝1或3或x3
当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3，
∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.
[例3]　若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值．
[解析]　∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素
即{x，x2}一定含有－1这个元素
由于x2≥0，∴x＝－1.
[例4]　将下列集合改为用符号语言描述：
(1)非负奇数集
(2)能被3整除的整数的集合
(3)第一象限和第三象限内的点的集合
(4)一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2的图象交点的集合．
[分析]　从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的属性入手，联想有关的数学表达形式．
[解析]　(1){x|x＝2k－1，k∈N*}；
(2){n|n＝3k，k∈Z}；
(3){(x，y)|xy＞0}；
[点评]　要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习(如，普通语言符号语言)，这对今后学习大有裨益.
[例5]　用适当的方法表示下列集合：
(1)24的正约数组成的集合；
(2)大于3小于10的整数组成的集合；
(3)方程x2＋ax＋b＝0的解集；
(4)平面直角坐标系中第二象限的点集；

[分析]　首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适当的方法表示集合．
[解析]　(1){1,2,3,4,6,8,12,24}；
(2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10}＝{4,5,6,7,8,9}；
(3){x|x2＋ax＋b＝0}；
(4){(x，y)|x<0且y＞0}；
[点评]　1.在表示集合时，选择表示法的原则为：让所表示的集合明确、直观、简捷．
2．在(5)的方程的解集中只有一个元素(－3,2)，不要认为这是两个元素，表达为{－3,2}．
用描述法表示下列集合．
(1){－1,1}；
(2)大于3的全体偶数构成的集合；
(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线上所有的点．
[解析]　(1){x||x|＝1}；
(2){x|x>3且x＝2n，n∈Z}；
(3){P|P在平面α内且PA＝PB}．
[例6]　下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
[分析]　对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．
[例8]　已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其它元素；
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B＝{0,1}；
(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：
①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；
②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；
综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．
[分析]　题中给出数集A满足的条件．解答此题就从此条件入手．逐步推出结论．
[例10]　集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．
[错解]　由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)，
由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)，
则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C
[辨析]　集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合．集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合，集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合，易知1∈A,5∈B，而1＋5＝6∉C，则a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C.错解的根源在于将A，B中的n看成同一个数，即a，b不是任意的，而是互相制约的，从而破坏了a与b的独立性．
[正解]　设a＝3m＋1(m∈Z)，b＝3t＋2(t∈Z)，
则a＋b＝3(m＋t)＋3，
当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)，
有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C；
当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)，
有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b∉C
综上可知不一定有a＋b∈C.