高中必修一：Chap 1
1.1.1 集合的含义与表示
思考问题：
(1)上面这些图画都给我们什么样的印象?
(2)初中时,我们有学习到与“集合”有关的
内容吗？
思考问题：
(1)上面这些图画都给我们什么样的印象?
(2)初中时,我们有学习到与“集合”有关的
内容吗？
动物生活在一起——有群居的特点。
自然数的集合、有理数的集合、不等式x－7≤3的解的集合、到定点的距离等于定长的点的集合（即球面）、到定直线的距离等于定长的点的集合（即圆柱面）
一、引入
在生活中，有许多事物给我们以集体的印象，比如，你的家庭；你所在的班级；山东省的所有城市，等等，你还能举出一些这样的例子吗？
仙居中学2012届新高一的全体同学；
仙居中学2012届高一（7）班全体女同学。
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔
茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动；
－－－－－
二、集合的概念
1、集合的概念
一般地，把研究的对象称为元素(element)；通常用小写拉丁字母a，b，c，…，表示；把一些元素组成的总体叫做集合(set), 简称集; 通常用大写拉丁字母A，B，C，…,表示.
练习1、请指出下列集合中的元素：
（1）“young”中的字母构成一个集合，该集合的元素是
（2）“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是
（3）“book”中的字母构成一个集合，该集合的元素是
y，o，u，n，g五个字母
北京，上海，天津，重庆
b，o，k三个字母 还是b， o， o， k四个字母
2：集合中元素的特征
思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
集合中的元素必须是确定的
思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？
集合中的元素是不重复出现的
思考3：高一19班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
总结出集合的三大性质：
①确定性； ②互异性； ③无序性。
集合中的元素没有一定的顺序（通
常用正常的顺序写出）
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（1）确定性：
（2）互异性：
集合中的元素没有重复。
（3）无序性：
练习2：下列说法中正确的是（ ）
A、2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合
B、某个班年龄较小的学生组成一个集合
C、1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的
两个集合
D、{1,2,2,3}是含1个1，2个2，1个3的四个元素的集合
练习3、下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）
A、一切很大的数； B、无限接近0的数；
C、聪明的人； D、方程x2=2的实数根。
A
D
3、元素与集合的关系
思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，22这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？
思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？
思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
⑤实数集：
常用数集及记法:
① 自然数集:
（非负整数集）
全体非负整数的集合。记作N
②正整数集:
非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
③整数集：
全体整数的集合。记作Z
④有理数集:
全体有理数的集合。记作Q
全体实数的集合。记作R
用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2) Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+
(5) Q (6) R
练习4
问题提出
用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 为半径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？
4、集合的表示
4、集合的表示方法
（1）字母表示法； （2）自然语言法；
（3）列举法； （4）描述法；
（5）韦恩(Venn)图；（6）区间法。
3、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于“{ }”中，各元素之间用逗号分隔，列举时与顺序无关.例如：方程(x－1)(x － 2) ＝0的所有实根的集合表示为{1，2 }。
课本 P3 例1
4、描述法：将集合的所有元素都具有的性质P（满足的条件）表示出来，写成{x | p(x)}的形式。
例如：不等式x －1＜0的解的集合表示为{x∈R|x＜1} .
课本 P4 例2
用描述法表示集合时注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还
是有序实数对(点)等．
(2)元素具有怎样的属性？
用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
5、图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
图1-1
图1-2
A

1，2，3，5， 4.
试用Venn图表示
N，Z，Q，R
之间的关系。
利用数轴来表示集合。
（一般表述数集）
a
b
a
b
集合A：数轴上a、b之间的区域。
（在下几节中，数轴表示将会很重要）
A
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
6、集合的分类
⑶空 集：不含任何元素的集合.
记作 ．
练习5 请表示出由方程x2－1=0所有的实数解构成的集合。
练习6 求不等式2x－3>5的解集。
注意：
1、列举法与描述法是表示集合的两个常用方法，要特别注意
这两种方法的书写格式；
2、无限集合一般不宜采用列举法；
3、有些集合既可用列举法，也可用描述法表示，选择表示方
法要遵循最简原则.
｛1，－1｝
｛x∈R|x＞4｝
三、集合相等情况
对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B。
练习7 若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值．

[解析]　∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素
即{x，x2}一定含有－1这个元素
由于x2≥0，∴x＝－1.
解集合问题的关键

解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构成．如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合．

例如，在判断集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}是否为同一集合时，若从代表元素入手来分析它们之间的关系，则比较抽象，而用列举法来表示两个集合，则它们之间的关系就一目了然．
即A＝{…，－1，1，3，5，…}，
而B＝{…，－1，1，3，5…}
∴A与B是同一集合．
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1.集合的含义；
3.数集及有关符号.
2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
4.集合的几种表示方法.
五、课堂练——提升版
1. {x²，3x+2，5x³－x}即{5x³－x，x²，3x+2}.

2.若方程x²－5x+6=0和方程x²－x－2=0 的解
为元素的集合为M，则M中元素的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
对 （无序性）
C
类比第2题
[分析]　本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义．
A
3. 将下列集合改为用符号语言描述：
(1)非负奇数集；

(2)能被3整除的整数的集合；

(3)第一象限和第三象限内的点的集合；

(4)一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2的
图象交点的集合．
五、课堂练——提升版
{x|x＝2k－1，k∈N*}；
{n|n＝3k，k∈Z}
{(x，y)|xy＞0}
练：下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
类比第3题
[分析]　对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．
五、课堂练——提升版
A＝{0，6，8}
B＝{1，3，9}
C＝{2，5，6}
D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}
E＝{0， ，4}
5.已知集合
五、课堂练——提升版
A={x∈R|ax2+4x+4=0，a∈R}
中只有一个元素，求a＝? 和集合A＝？
解：分类讨论思想——二次项系数有参数。
(ⅰ) 当 a＝0时，x＝－1，故集合A＝{－1}；
(ⅱ) 当 a≠0时， a＝1，x＝－2，
故集合A＝{－2}。
下结论。
五、课堂练——提升版
6. 已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，
若A中至少有一个元素，则a的取值范
围是________．
解：当a＝0时，A＝{－2}符合题意；
当a≠0时，则Δ≥0，即1－8a≥0，

解得a≤ 且a≠0.

综上可知，a的取值范围是{a|a≤ }．
解：分类讨论。
1、－3＝a－2， a ＝ －1，验证三个性质；
2、 －3＝2a²＋5a， a ＝ －1或－ ，验证
三个性质。
五、课堂练——提升版
结论：a ＝ － 。
1、 3≠ x；验证三个性质
2、x²－2x ≠3 ；验证三个性质
3、 x²－2x≠x；验证三个性质
4、得结论。
五、课堂练——提升版
①x≠－1且x≠0且x≠3

②{x|x＜－1或－1＜x＜0或x＞3}
注意或、且的区别！
怎样用集合表示？
五、课堂练——提升版
10. 集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n
＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任
意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并
证明你的结论．
五、课堂练——提升版
解：由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)，
由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)，
则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C
×
举出特例：1∈A，5∈B，
1＋5 ∉ C
[正解]　设a＝3m＋1(m∈Z)，
b＝3t＋2(t∈Z)，
则a＋b＝3(m＋t)＋3，
当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)，
有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C；
当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)，
有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b∉C
综上可知不一定有a＋b∈C.
五、课堂练——提升版
｛(x，y)|(1，0)｝
{(1，0)}
这是什么表示法？
这又是什么表示法？他们的区别是什么？
六、作 业
Ⅰ、

Ⅱ、课本P11～12 2、 3、 4