集合的含义与表示
集合的含义与表示
了解康托尔
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3的解的集合…
初中学习了哪些集合的实例
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合)
线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些
元素组成的总体叫做集合(简称为集).
集合的概念
由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成
整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用
小写字母a,b,c等表示集合中的元素.
集合元素具有以下三个特征
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.
判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流.
元素与集合的关系有两种:
如果a是集A的元素，记作:
如果a不是集A的元素，记作：
例如，用A表示“ 1~20以内所有的质数”组成的集合，则有3 ∊A，4 ∉A，等等。
元素与集合的关系
常用的数集
判断0与N,N*,Z的关系?
解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于
弄清这个集合由哪些元素组成的.
用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2) Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+
(5) Q (6) R
练 习
问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?
(2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?
｛1,-2｝
1.把集合中的元素一一列举出来,并用花括号｛｝括起来表示集合的方法叫做列举法.
集合的表示方法
｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝
解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)B={0，1}.
(3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.
一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序(集合中元素的无序性).
1.确定性
2.互异性
3.无序性
（注意：元素与元素之间用逗号隔开）
(1) 您能用自然语言描述集合｛2,4,6,8｝吗?
(2) 您能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?
小于10的正偶数的集合
不能一一列举
(请阅读课本P4例2前的内容)
集合的表示方法
2.
3. 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
图1-1
图1-2
A

1,2,3,5, 4.
集合的表示方法
（1）列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号的方法．
（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．
（3）图示法．
基础练习
一、集合概念的考查
1.⑴现有:①不大于　的正有理数.②我校高一年级所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿＿．
②
3,0,-1
2．选择题
⑴ 以下说法正确的( )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数}
(B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定
C
c
（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：
﹛y︱y=2﹜ B. ﹛x=2﹜
C. ﹛2﹜ D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜
二、集合的表示方法
1. 用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.
①{x|x=3n-2, n ∈ N*且n≤5}
解：
能力提高题
2.用列举法表示下列集合：
（1）A=﹛x∈N︱ ∈Z﹜
(2) B=﹛ y ∈N ︱ , x∈Z ﹜
3.解答题
已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}
(1)1∈A，求集合A中的其他元素
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围。
回 顾 交 流
今天我们学习了哪些内容？
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
集合的含义与表示
(2) 用描述法表示下列集合
① {1,-1} ② 大于3的全体偶数构成的集合.
练习 (1) 用列举法表示下列集合
① ②
自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述.
列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况.
集合的表示方法
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习题1.1 A组 第1、2、3、4题
课堂作业
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
　　1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
格奥尔格·康托尔
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）  德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
　　康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
　　在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
　　说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。
　　他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
　　康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。
　　康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
　　集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。