§1.1.1集合的含义和表示
集合的含义与表示
了解康托尔
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。
情景设置
在军训期间，当教官高喊“集合”口令之后，同学们都干了什么事？
— 观察下列的对象：
(1) 1~20以内所有的质数；
(2)我国从1991~2003年13年内所发射的所有人造卫星；
(3)金星汽车厂2003年所生产的汽车；
(4) 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
(5)所有的正方形；
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(7)到直线L的距离等于定长d的所有点；
(6)我校今年9月入学的高一的学生全体。
请概括7个例子的特征
1.集合的含义：
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.
通常用大写字母A，B，C…表示集合，
用小写字母a, b，c …表示集合中的元素
元素(element)---我们把研究的对象统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集.
2.集合元素具有以下三个特征
[例1] 下面各组对象能否构成集合？
（1）所有的好人；
（2）小于2003的数；
（3）和2003非常接近的数；
（4）方程x2＋1＝0的实数解；
（5）满足x－2<8的全体实数。
例题
如果a是集合A的元素， 就说a 属于集合A ，记作a∊A；
如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A。
例如，用A表示“ 1~20以内所有的质数”组成的集合，则有3 ∊A，4 ∉A，等等。
4、常用数集
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：
1.有限集：
含有有限个元素的集合称为有限集, 特别，不含任何元素的集合称为空集,记为 
2.无限集：
若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
5、数集的分类
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等
6、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开；
2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母的集合表示为：
｛ｂ，o ，o，ｋ｝
(×)
[例2] 、用列举法表示下列集合：
（1)小于10的所有自然数组成的集合；
（2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
（3)由1－20内的所有素数组成的集合；
（4）以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解作为元素构成集合。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
[例3] 、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
③{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.
[例4] 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
[例5] 已知 M={2, a, b } , N = { 2a , 2 , b2 },且M=N
求a , b 的值。
[例6] 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
能力提高题
补充练习
1.方程组 的解集用列举法表示

为________；用描述法表示为 .
2.

用列举法表示为 .
随堂练习
见课本P.5练习/1, 2.
回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？
1、教材P.11.A组第1，2题
2、《立体设计》
选做： 3、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合， 则a的取值为多少？
课后作业：
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
　　1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
格奥尔格·康托尔
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）  德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
　　康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
　　在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
　　说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。
　　他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
　　康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。
　　康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
　　集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。