1.1　集合
1.1.1　集合的含义与表示
第2课时　集合的表示
研 习 新 知
新 知 视 界
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号{__}括起来表示集合的方法，叫做列举法．
2．用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法称为描述法，具体做法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
3．对给定的集合用图形(常见的有圆和矩形)表示，图形上或图形内的点表示该集合的元素，图形外的点表示集合外的元素，这种表示集合的方法叫图示法，或称Venn图示．
(2)所有三角形的集合，能否表示为{所有三角形}?
提示：在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可以省去竖线及其代表元素．但所有三角形的集合不能表示为{所有三角形}，因为“{}”本身就有“所有”、“全部”的意思．
(3)列举法和描述法分别适合于表示什么特点的集合？
提示：一般来讲，有限集(当集合中元素的个数有限时，称为有限集；否则，当集合中元素的个数无限时，称为无限集)宜采用列举法，它具有直观明了的特点；无限集或不宜一一列举的集合，宜采用描述法，若无限集有规律，也可以用列举法．
自 我 检 测
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1}　　　　　 B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
解析：集合{x|x2－2x＋1＝0}为方程x2－2x＋1＝0的解集，而x2－2x＋1＝0的解为x1＝x2＝1，由于集合元素的互异性，故只可写成{1}，故选B.
答案：B
答案：D
3．设集合A＝{2，a}，B＝{2，a2－2}，若A＝B，则a＝________.
解析：∵a＝a2－2，∴a＝－1或a＝2.
∵a＝2时与元素的互异性矛盾，
故a＝－1.
答案：－1
4．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，试用描述法表示该集合为________．(答案不唯一，写出一个便可)
解析：A中含有0,1,2,3,4五个自然数，故可以用描述法表示为{x∈N|x<5}，也可以表示为{x∈Z|－1答案：{x∈N|x<5}
5．将大于0不大于15且能被3整除的整数组成的集合分别用列举法和描述法表示出来．
解：列举法：{3,6,9,12,15}；
描述法：{x|0互 动 课 堂
[点评]　当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
①元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③不必考虑元素出现的先后顺序；
④集合中的元素不能重复；
⑤集合中的元素可以是任何事物．
类型二　　用描述法表示集合
[例2]　用描述法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数集合；
(2)大于4的全体奇数构成的集合；
(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；
(4)三角形的全体构成的集合．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：用描述法表示集合．解答此类问题要清楚集合中代表元素是什么，元素满足什么条件．
[解]　(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；
(2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；
(3){(x，y)|xy＝0}；
(4){x|x是三角形}或{三角形}．
[点评]　(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(1)(2)小题．
变式体验2　用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内抛物线y＝x2－1上的点的集合；
(2)所有偶数的集合；
(3)3和4的所有正的公倍数的集合．
解：(1){(x，y)|y＝x2－1}；
(2){x|x＝2n，n∈Z}；
(3){x|x＝12k，k∈N*}．
类型三　　列举法与描述法的灵活运用
[例3]　用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式x－3>2的解的集合；
(4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜于描述法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
[点评]　用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
解：(1)列举法：{3,5,7}；
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}；
(3)列举法：
{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}；
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}。
思 悟 升 华
1．集合的表示方法常见的有列举法和特殊性质描述法，当集合中的元素个数有限但公共属性难以概括时，只能用列举法；当集合中的元素无法一一列举时，可先抽象出元素的特征性质，用描述法表示；描述法和列举法可以互化，同时也可以转化为自然语言表示．
2．用列举法表示集合时，注意以下三点：①元素之间用“，”隔开；②元素不重复、无顺序；③对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
3．用描述法表示集合时，注意以下几点：①写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的特征；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；⑤所有描述的内容都要写在集合括号内；⑥用于描述法的语句力求简明、确切．
4．对于用特征性质描述法表示的集合，一定要搞清这个集合的代表元是数，还是有序实数对(点)，还是集合，还是其他形式．这一点对于我们解题至关重要．