A
B
A’
C’
B’
C
O
27.3位似
前面我们已经学习了图形的哪些变换？
平移：平移的方向,平移的距离.
旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度.
相似：相似比.
对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对称图形)：对称轴,对称中心.
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.
下面请欣赏如下图形的变换
回顾：
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比。
相似
对应点的连线相交一点
对应边平行
明确：
1. 判断下列各对图形是不是位似图形.
（1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′；
（2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′.
思考：是否相似图形都是位似图形？
是
是
判断下面的正方形是不是位似图形？
（1）
不是
A
C
D
B
F
E
G
显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相似图形不一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形
位似是一种具有位置关系的相似。
位似图形是相似图形的特殊情形。
位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。
两个位似图形的位似中心只有一个。
两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
思考：位似图形有何性质？
2. 位似图形的性质
对应点与位似中心共线。
不经过位似中心的对应边平行。
位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
位似图形的性质
若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2，则OA：OA’=（ ）。
O
A
A’
B
C
B’
C’
1:2
O
.
A
B
C
A'
C’
B’
.
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.
OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’= 1:2
思考：还有没其他作法？
O
.
A
B
A'
C’
B’
C
如果位似中心跑到三角形内部呢？
A
C
B
O
A
B
A’
C’
B’
C
O
以0为中心把△ABC
缩小为原来的一半。
位似的作用
位似可以将一个图形放大或缩小。
二、位似图形的画法
A
B
A’
C’
B’
C
O
以0为位似中心把△ABC
在同侧缩小为原来的一半
1.画出ABC
2.选取中心点
3.连结OA、OB、OC
4.在OA、OB、OC上分别选取A’、B’、C’，
使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2
步骤：
5.连结A’B’C’，所连成的图形就是所求作图形
二、位似图形的画法
A
B
A’
C’
B’
C
O
以0为中心把△ABC
缩小为原来的一半
练习：如图：以O为位似中心，
将△ABC放大为原来的两倍
如果把位似图形放到直角坐标系中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？
请以坐标原点O为位似中心，作□ ABCD的位似图形，并把它的边长放大3倍。
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和□ ABCD的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点。
1. 连结OA，OB，OC，OD.
2. 分别延长OA，OB，OC，OD至G，C，E，F，使
3. 依次连结GC，CE，EF，FG.
四边形GCEF就是所求作的四边形.
如果反向延长OA，OB，OC，OD，就得到四边形G’C’E’F’，也是所求作的四边形.
作法：
使新图形与原图形对应线段的比是2∶1.
在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点P;
作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;
在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′ =2PE,PF′=2PF,PG′=2PG;
顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的箭头)就是符合要求的图形。
如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢?
结果是一个向上的箭头.
新图形与原图形是位似图形，位似比是2∶1
你还有其它方法吗?
①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。
位似变换的步骤
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.
1.什么叫位似图形?
2.位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
复习回顾
D
E
F
A
O
B
C
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
D
E
F
A
O
B
C
对应点连线都交于____________
对应线段_______________________________
位似中心
平行或在一条直线上
复习回顾
B'
A'
x
y
B
A
o
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1), B′(2,0)
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
探索1:
B'
A'
x
y
B
A
o
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0)
A〞
B〞
A〞(-2,-1),B(-2,0)
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
x
y
o
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2画它的位似图形.
B
A
C
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
放大后对应点的坐标分别是多少?
B'
A'
C'
探索2:
还有其他办法吗?
2
4
6
12
1
3
6
2
4
x
y
o
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大.
A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
B
A
C
放大后对应点的坐标分别是多少?
B”
A”
x
y
o
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
A′
B′
C′
D′
你还有其他办法吗?试试看.
在平面直角坐标系中，
如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k
例如：点A(x,y)的对应点为A’，则A’点的坐标可以这样确定
归纳：
xA’=xA×k , yA'=yA×k
xA’=xA×(-k) ，yA'=yA×(-k)
或
即A’（kx,ky）
即A’（-kx,-ky）
例：如果四边形ABCD的坐标分别为
A（-6，6），B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),
写出以原点为位似中心，相似比为(1/2)的
一个图形的对应点的坐标
练习：
参考答案：
随堂练习
1. 判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′
（2）正方形ABCD与正方A′B′C′D′
√
×
（3）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
√
2. 下面的说法对吗?为什么?
（1）分别在△ABC的边AB,AC上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形。
（2）分别在△ABC的边AB,AC的延长线上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形。
（3）分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形。
√
×
√
3．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
是位似图形。
位似中心是点A，
位似比是1:2。
4. 哪些图形是位似图形并指出位似图形的位似中心。
√
×
√
位似中心是点O。
位似中心是点P。
5. 作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是2∶1。
6. （1）如果在射线OA,OB,OC上分别取D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,那么,结果会怎样?
结果会得到一个放大了的△DEF,且△DEF的三边是△ABC三边的2倍.即它们的位似比是2∶1。
（2）如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F使DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么,结果又会怎样?
结果会得到一个与△ABC全等的△DEF,.即它们的位似比是1∶1。
O
7. 任意画一个三角形,将△ABC的三边缩小为原来的一半。
课堂小结
1. 位似图形、位似中心、位似比：
如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心。
这时的相似比又称为位似比.
2. 位似图形的性质：
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）。
画出基本图形。
选取位似中心。
根据条件确定对应点，并描出对应点。
顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。
3. 位似图形的画法：
对称
平移
旋转
相似
4. 图形变换
再见