第四章圆复习
一、垂径定理
③AM=BM,
重视：模型“垂径定理直角三角形”
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理及推论
直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
(3) 平分弦 ；　　　　 (4)平分劣弧；
(5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
( )
错
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ .
2cm
或14cm
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如由条件:
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
①∠AOB=∠A′O′B′
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
三、圆周角定理及推论
90°的圆周角所对的弦是 .
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.
推论:直径所对的圆周角是 .
直角
直径
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.
(2)相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(×)
(×)
(√)
四、点和圆的位置关系
不在同一直线上的三个点确定一个圆　　　　　　　　　　（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角
反证法的三个步骤：
1、提出假设
2、由题设出发，引出矛盾
3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
练：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，
Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值
范围是＿＿＿＿＿.
r1、直线和圆相交
d r;
d r;
2、直线和圆相切
3、直线和圆相离
d r.
五.直线与圆的位置关系
<
=
>
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
C
D
●O
A
如图
　∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
判定切线的方法：
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；
　　2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半径
C
D
●O
A
∴CD⊥OA.
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立.①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心.
如　　①
　　　②
③
①
③
②
②
③
①
一、判断
1.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
2.直角三角形的外心是斜边的中点（ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径　　　　，内切圆半径　　　　；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比　　　　．
×
√
6.5cm
2cm
2:1
三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______．
30cm
C
交点个数 名称
0
外离
1
外切
2
相交
1
内切
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d , R , r 的关系
d
R
r
d > R + r
d = R + r
R-r< d < R+ r
d = R - r
d < R - r
六.圆与圆的位置关系
A
B
C
O
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
B
C
I
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各边的距离相等
到三角形各顶点的距离相等
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线长定理及其推论:
直角三角形的内切圆半径与三边关系.
三角形的内切圆半径与圆面积.
∵PA,PB切⊙O于A,B
∴PA=PB ∠1=∠2
直角三角形的内切圆半径与三边关系
已知：Rt△ABC中∠C=90°，内切圆⊙O分别切AB、BC、CA于D、E、F
求证：⊙O半径=(a+b-c)/2
证明：∵⊙O切AB、BC、CA于点D、E、F，
由切线长定理得：AE=AF、BD=BF，∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-AF-BF=CD+CE
∵四边形CDOE中，∠C=∠CDO=∠CEO=90°且OD=OE，
∴四边形CDOE是正方形，CD=CE=OD，
∴⊙O半径OD=CD=(AC+BC-AB)/2=(a+b-c)/2
1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
60度
30或150度
2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数．
3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.
D
解：在优弧AC上定一点D，连结AD、
CD.
∵ ∠ AOC=140 °
∴ ∠ D=70 °
∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
2或4cm
4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
A
B
C
P
5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？
O
7
14
综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，
BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
补充：
　　若∠B=70 °,则∠DOE=＿＿＿．
E
40 °