24章 圆复习
－－圆、与圆有关的位置关系（1）
１、圆的基本元素: 圆心、半径。
一、知识点：
２、圆的对称性: 圆的旋转对称性、圆是中心对称图形、圆是轴对称图形。
3、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关系:
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦、所对弦心距的也相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦、两条弦心距中有一组量相等,那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。
4、过三点的圆:
(1)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
(2)三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点。
5、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
6、点与圆的位置关系: ①点在圆外;②点在圆上; ③点在圆内.
判断方法: ①交点个数 ②点与圆心的 距离d和半径r的大小关系.
7、直线与圆的位置关系: ①相离,②相切, ③相交.
判断方法: ①交点个数 ②圆心与直线的距离d和半径r的大小关系.
8、两圆的位置关系: ①外离 ②相切 ③相交 ④内切 ⑤内含
判断方法: ①交点个数 ②圆心距d与半径r1、r2的大小关系.
9、圆的切线:
(1)与圆有唯一一个交点的直线是圆的切线。
(2)经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(3)切线性质定理:________________________。
10、切线长定理:________________________。
11、三角形内切圆的半径、内切圆的面积、三边长的关系:
填空、
1、 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧____，所对的弦____；

2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么__________相等，__________相等；

3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么__________相等，_________相等；
４、垂径定理：_______________。
５、半圆或直径所对的圆周角都是_____。
６、９０°的圆周角所对的弦是_____。
７、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于该弧所对的_____的一半，相等的圆周角所对的____相等。
一、垂径定理
③AM=BM,
重视：模型“垂径定理直角三角形”
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
2、垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理及推论
直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
(3) 平分弦 ；　　　　(4)平分劣弧；
(5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
( )
错
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ .
2cm
或14cm
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如由条件:
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
①∠AOB=∠A′O′B′
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
三、圆周角定理及推论
90°的圆周角所对的弦是 .
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.
推论:直径所对的圆周角是 .
直角
直径
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.
(2)相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(×)
(×)
(√)
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____；
　　2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（ ）；
　A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
　　3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于 ( )；
　A．150° B．130° C．120° D．60°
　　4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC= 　；若O为△ABC的内心，∠BOC= 　．
　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　图2
20
B
C
1400
1250
5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm；
　6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来 ；
　　7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；
　 　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　图2
1
10
四、点和圆的位置关系
不在同一直线上的三个点确定一个圆　　　　　　　　　　（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角
反证法的三个步骤：
1、提出假设
2、由题设出发，引出矛盾
3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
　　2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_____ cm.
　　3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（ ）
　　A、1∶2∶3∶4 　　　　 B、1∶3∶2∶4
　　C、4∶2∶3∶1 　　　　 D、4∶2∶1∶3
练：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，
Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值
范围是＿＿＿＿＿.
r1、直线和圆相交
d r;
d r;
2、直线和圆相切
3、直线和圆相离
d r.
五.直线与圆的位置关系
<
=
>
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
C
D
●O
A
如图
　∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
判定切线的方法：
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；
　　2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半径
C
D
●O
A
∴CD⊥OA.
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如　　①
　　　②
③
①
③
②
②
③
①
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
　　2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
　　3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点． （ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径　　　　，内切圆半径　　　　；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比　　　　．
三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
×
√
6.5cm
2cm
2:1
C
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______．
30cm
交点个数 名称
0
外离
1
外切
2
相交
1
内切
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d , R , r 的关系
d
R
r
d > R + r
d = R + r
R-r< d < R+ r
d = R - r
d < R - r
六.圆与圆的位置关系
A
B
C
O
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
B
C
I
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各边的距离相等
到三角形各顶点的距离相等
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线长定理及其推论:
直角三角形的内切圆半径与三边关系.
三角形的内切圆半径与圆面积.
∵PA,PB切⊙O于A,B
∴PA=PB ∠1=∠2
1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
60度
30或150度
2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数．
3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.
D
解：在优弧AC上定一点D，连结AD、
CD.
∵ ∠ AOC=140 °
∴ ∠ D=70 °
∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
2或4cm
4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
A
B
C
P
5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？
O
7
14
综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，
BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
补充：
　　若∠B=70 °,则∠DOE=＿＿＿．
E
40 °
7、如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．
　　证明:DE是圆O的切线.
谢谢同们的合作
拜　拜