二次函数习题课
例1．  已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。
　　[解法一]：用标准式
　　∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3）
　　∴可设y=f (x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=－6　①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③
　　解之得：a=1，b=2，c=－5
　　∴所求二次函数为y=x2+2x-5
　　[解法二]：用三点式
　　∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3）
　　∴可设y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2－
                 [a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)
　　计算可得：a1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1，　　　　　　　a2=－2/ (1＋1)(1－2)=1，　　　　　　　a3=3/ (2＋1)(2－1)=1
　　∴f (x)=x2＋2x－5
　　例2．  二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式
　　解：∵它的顶点坐标已知
　　∴可设f (x)=a(x－1)2－8
　　又函数图象通过点（2，－5），
　　∴a(2－1)2－8=－5
　　解之，得a=3
　　故所求的二次函数为：　　　　　　y=3(x－1)2－8
　　即：y=f (x)=3x2－6x－5
　　[评注]，以顶点坐标设顶点式a(x-h)2+k，只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入得到关于a的一元一次方程求a，这比设标准式要来得简便得多。
　　例3．  已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4，求它的解析式。
　　解：∵（－2,0）和（3,0）是X轴上的两点，
　　∴x1＝－2，x2＝3
　　可设y=f(x)=a(x+2)(x-3)　　　　　　　=a(x2-x-6)=a[(x-1/2)2-25/4]　　　　　　　=a(x-1/2)2-25/4a
它的顶点的纵坐标为－25/4a
       　　∴－25/4a=125/4，a=－5
故所求的二次函数为：
　　　　　　f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x2+5x+30
　　[想一想]：本例能否用顶点式来求？
　　例4．  已知二次函数经过3点A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。
　　[分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求a1、a2、a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。
　　[解法一]：顶点式：由二次函数的对称性可知，点B、C所连线段的中垂线x=(-1+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点式:
　　　　　　f(x)=a(x-(1/2))2+(3/4)
把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3
解得：a=1
　　　∴f(x)=(x-(1/2))2+3/4=x2-x+1
　　[解法二]由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f (x)与直线y=3的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程f (x)=3即f (x)-3=0的两个根故可设零点式为：
　　　　　　　　　　f (x)-3=a(x+1)(x-2)
把A点坐标代入，有
　　　　　　　　　　f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即－9/4=－9/4a，a=1
从而f (x)=(x+1)(x-2)+3　　　　 =x2-x+1
　　三、二次函数的最值
　　我们知道，二次函数y=f (x)＝ax2+bx+c (a≠0)利用配方法，可以得出：
　　　　y=f(x)=ax2+bx+c=a(x+(b/2a))2+((4ac-b2)/4a)，
　　它的图象是开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标是（-(b/2a)，((4ac-b2)/4a)）
　　1．当自变量在全体实数范围内变化时，二次函数的最值为：
　　　　　　a>0，　　　　　　　　 　　　　　　a<0，　　　　　　ymin=fmin=((4ac-b2)/4a)　　；　　ymax=fmax=((4ac-b2)/4a)；
　　2．当自变量的取值范围为有限闭区间[p,g]时，其最值在f (p)、f (g)、f (-b/2a)三者中取得，最值情况如下表：
 
-b/2a∈[p,g]
　　　-b/2a      
[p,g]

a>0
fmin=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4a)
fmax= max{f (p),f (g)}
fmin=min{f (p),f (g)}
fmax=max{f (p),f (g)}

a<0
fmax=f (-b/2a)=((4ac-b2)/4a)
fmin=min{f (p),f (g)}


　　例5．  当X为何值时，函数
　　f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。
　　解：∵f (x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+…+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2)
　　∴当x=((a1+a2+…+an)/n)时，f(x)有最小值。
　　[评注]：1994年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1、a2、…，an共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,…an推出a=　　　　读者从例5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？
　　例6．（1982年全国高中数学联赛试题）
　　已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0　(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是：
　　　　（A）19；　　　　（B）18；　　　　（C）50/9　　(D)不存在
　　解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5
　　∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2　　　　　　　 =(k-2)2-2(k2+3k+5)　　　　　　　 =-k2-10k-6　　　　　　　 =-(k+5)2+19
　　如果由此得K＝-5时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。为什么？已知该x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别式Δ≥0，即
 Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0 ①
解①得：-4≤k≤-4/3
　　∵k=-5
[-4,-4/3]，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18
　　∴当k=-4时，(x12+x22)max=18，
　　∴选（B）
　　[评注]：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。
　　例7．       已知f (x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为y，求y的表达式。
　　解：f (x)= (x-1)2+1
　　(1)当t+1<1即t<0时，y=f(t+1)=t2+1
　　(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，y=f (1)=1
　　(3)当t>1时，g(t)=f (t)=t2-2t+2
　　综合（1）、（2）、（3）得：

　　例8．（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；
　　   （2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。
　　解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6)
又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1
　　∴当x=2/3时，y=(√10)/6，（2x+3y2）max=16/3；
　　　当x=-1时，y=0，　（2x+3y2）min=－2
          　　(2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2
又y2=(3/2)x (2-x)≥0，得0≤x≤2
  　　当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0