九年级数学全册·R
第22章 二次函数
22.1.1二次函数
1、如果一个正方形的边长为5，那这个正方形的面积为什么？
2、如果一个正方体的边长为4，那么这个正方体
的表面积为多少？
3、如果一个正方体的边长为 ，这个正方体的表面积为y，
你可以列出y关于x的表达式吗？
问题1： 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 与球队数 有什么关系？
(2)把每个队要比赛的场次数相加，是不是就是总场数？有重复场次吗？
现在你能得出什么关系式吗？

问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加 倍，那么两年后这种产品的产量 将随计划所定的 的值而确定，你能表示出 与 的关系式吗？
分析（1）现在的年产量是20t，每年都比上一年增加倍，那么明年的年产量是多少？可以用 表示吗？
（2）后年的年产量可以用 来表示吗？
现在你能得出什么关系式吗？
你能看出这三个式子又什么特点吗？
这三个式子都是等式，最高次是2次，有两个未知数，并且其中一个未知数随另一个未知数变化而变化
一般地，形如
的函数，叫做二次函数。
这些式子和一次函数有什么区别和联系呢？仿照一次函数，你能给这样的式子下个定义吗？
（1）在这个二次函数中，哪个是自变量，哪个是函数？
（2）你能说出二次项系数，一次项系数，常数项吗？
（3）二次项系数、一次项系数和常数项能为0吗？
二次项系数不能为0，否则就是一次函数了，一次项系数和常数项可以为0
一个长方形的周长为36，其中一边长为
，写出函数
的关系式，并说出二次项系数，一次项系数，常
数项。
（1）什么是二次函数
（2）二次函数概念
（3）二次函数的一般形式及其特殊情况
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第22章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax 的
图象和性质
一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
直线
双曲线
(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
列表、描点、连线
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
0
1
4
9
1
4
9
3. 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
你画出的图象与图中相同吗？
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小，在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，抛物线的开口向_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
下
高
大
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第22章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的
图象和性质（1）
例1 在同一直角坐标系中，画出二函数 的图象．
解：先列表：
10
5
2
1
2
5
10
8
3
0
－1
0
3
8
y = x2＋1
y = x2－1
（2）抛物线 与抛物线 有什么关系？
开口方向都向上，对称轴为y轴， y = x2＋1的顶点坐标是（0，1）， y = x2－1的顶点坐标是（0，－1）
y = x2＋1
y = x2－1
如右图所示
（1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4个单位呢？
一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图像向上（ k＞0）或向下（ k＜0）平移 个单位得到的。
当a＞0时，抛物线y=ax2+ k的开口向上, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值= k
当a＜0时，抛物线y=ax2+ k的开口向下, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值= k
在同一直角坐标系中，画出下列二处函数的图象：

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点．你能说出抛物线 的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 有什么关系？
练习
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第22章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c
的图象和性质
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xy随着x的增大而减小。
当x>h时，
y随着x的增大而增大。
当xy随着x的增大而增大。
当x>h时，
y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
我们来画 的图象，并讨论一般地怎样画
二次函数 的图象．
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
3
3.5
5
7.5
3.5
5
7.5
配方可得
由此可知，抛物线 的顶点是（6，3），对称轴是直线 x = 6
分析
你知道吗?
用配方法
试一试
试一试
∴开口方向：由a决定;
要记住公式哦！
因此，抛物线 的对称轴是 顶点
坐标是
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 ，场地的面积
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？
即
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点的横坐标．
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
S＝l ( 30－l )
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
因此，当 时，
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
一般地，因为抛物线 的顶点是最低（高）点，

所以当 时，二次函数

有最小（大）值
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的值最小（大）？
（4）
（3）
（2）
（1）
练习
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
（2）
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
（3）
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
（4）
小试牛刀
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是 。
(0,3)
(1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交点有什么特征？
抛物线与x轴的交点有什么特征？
回顾：二次函数y=ax2+bx+c的性质
向上
向下
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大。
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小。