22.1二次函数
第1课时
人教版九年级数学上册
1、理解二次函数的概念，
2、掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义是什么？
喷泉(1)
（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
（1）你们喜欢打篮球吗？
问题：
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
1
1
1
3
x
y = (60-x-4)(x-2)
1.y =πx2
2.y = 2(1+x)2
3.y= (60-x-4)(x-2)
=2x2+4x+2
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, )
a≠0
（1）关系式都是整式，（2）自变量的最高次数是二次，（3）二次项系数不等于零
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：ax2叫做二次项，a为二次项系数
bx叫做一次项， b为一次项系数
c为常数项,
又例：y=x² + 2x – 3
归纳总结

例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
解: 由题意可得
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
（2）由题意得 其中y是x的二次函数；
（3）由题意得 其中S是x的
二次函数
解: （1）由题意得 其中S是a的二次函数；
例3、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1 (2) y=x+
(3) s=3－2t² (4) y=(x+3)²－x²
(5)y= －x (6) v=8π r²
解:
y=3(x-1)²+1
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1
即
y=3x2-6x+4
是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
3
-6
4
不是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
-2
0
3
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即
y=6x+9
不是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
8π
0
0
不是二次函数.
(6) v=8π r²
是二次函数.
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
｛

1、（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．
2.下列函数中,哪些是二次函数?
是
不是
是
不是
先化简后判断
3、若函数 为二次函数，求m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
解（1）得：m=2或-1
解（2）得：
所以m=2
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
其中自变量x能取哪些值呢？
4、是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？

5、要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.
(2)当x=3时,距形的面积为多少?
(o一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0),
反比例函数y= (k≠0) ，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
现在我们学习过的函数有:
可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。
22.1.2二次函数y＝ax2的
图象和性质
第2课时
人教版数学九年级上册
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3、让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
二
次
函
数
Y
=
ax2
的
性
质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
二
次
函
数
Y
=
ax2
+k
的
性
质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
画出函数 的图像
x
y=-1/2(x+1)2
...
...
...
...
...
...
0
-3
-2
-1
2
3
1
y=-1/2(x-1)2
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
x= -1
x=1
想一想：三条抛物线
有什么关系？
答：形状相同，位置不同。
三个图象之间通过沿x轴平
移可重合。
1．把二次函数y =6(x+3)2的图像，沿y 轴向下平移2个单位，向左平移３个单位，得到____________的图像.
2．把二次函数_ __________的图像，沿x 轴向右平移2个单位，沿y 轴向下平移3个单位，得到y =6(x-3)2+5的图像.
3．把二次函数y =6(x-3)2+5的图像，沿x 轴_______平移______个单位，再沿y 轴向______平移_______个单位，图像过原点.
y =6(x+6)2-2
y =6(x-1)2+8
向左
3
向下
5
例3.画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、
解: 列表
描点

连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
直线x=－1
直线x=－1
抛物线 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
二次函数图像平移
x=－1
(2)抛物线 与 有什么关系?
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
归纳
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
向上
(1,－2)
向下
向下
(3,7)
(2,－6)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,5)
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
向右平移3个单位，再向上平移7个单位。
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
如何平移：
例1.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
C(3,0)
B(1，3)
A
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式
(1,-1)
(0,0)
(2,0)
当x 时，y﹤0。
当x 时，y=0;
（2）根据图象回答：
当x 时，y>0;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)，
∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，
∵其图象过点(0,0)，
∴0= a(0-1)2-1，
∴a=1
∴y= (x-1)2-1
x<0或x>2
0< x<2
x=0或2
1．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图像，先沿x轴向
左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
y=3(x+3)2-2
1．抛物线的平移：
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平
移3个单位，得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
y=-3(x+6)2
(-1,0)
(-1,3)
x=-1
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
平移的规律总结：
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
当h>0时,向右平移h个单位
当h<0时,向左平移 个单位
当k>0时,向上平移k个单位
当k<0时,向下平移 个单位
22.1.3 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3、经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
1． 的顶点坐标是________，对称轴是__________
2．怎样把 的图象移动，便可得到 的 图象？
（h，k）
直线x＝h
3． 的顶点坐标是 ，对称轴是 ．
(－2，－5)
直线 x＝－2
4．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状

我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为
，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢？
的图象怎样平移就得到
那么一般地，函数
的图象呢？
解：

顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
答案： ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
的形式，求出顶点坐标和对称轴。
练习1 用配方法把
化为
的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下：
化为
的形式。
2．用公式法把抛物线
把
变形为
所以抛物线
的顶点坐标是
，对称轴是直线
。
的形式，求出对称轴和顶点坐标．
例2 用公式法把
化为
解：在
中，
，
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
的形式，并求出顶点坐标和对称轴。
答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x＝2
练习2 用公式法把
化成
3．
图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把
化为
的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。
的图像，利用函数图像回答：
例3 画出
(1)x取什么值时，y＝0？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．
(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2.
(2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是
的图象。
解：列表
2
2
1
0
0
－6
3
0
4
－6
…
…
…
…
（2,2）
·
·
·
·
·
x=2
（0,－6）
（1,0）
（3,0）
（4,－6）
由图像知：
当x＝1或x＝3时，
y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
(4)当x＝2时，
y有最大值2。
x
y
练习3 画出
的图像。
x=1
y=x2－2x＋2
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（1）顶点坐标
（2）对称轴是直线
如果a＞0，当
时，函数有最小值，
如果a＜0，当
时，函数有最大值，
（4）最值：
①若a＞0，当
时，y随x的增大而增大；
当
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
时，y随x的增大而减小；
当
时，y随x的增大而增大。
（5）增减性：
例4 已知抛物线
①k取何值时，抛物线经过原点；
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以
，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即
，整理得
，解得：
④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。
所以当x＝2时， 。
解法一（配方法）：
1、当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？
因为
所以当x＝2时， 。
因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值，
总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．
解法二（公式法）：
又
2、已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一： ，
∴抛物线开口向下，
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。
解法二：
，∴抛物线开口向下，
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．
由②解方程得
所求函数解析式为
。
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（1）顶点坐标
（2）对称轴是直线
①若a＞0，当
时，y随x的增大而增大；
当
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
时，y随x的增大而减小；
当
时，y随x的增大而增大。
2、增减性：
再见！