26.1.1二次函数
1．下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1(2)y=3x2+2;(3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x.
2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( )
A.a＝1 B.a＝±1 C.a≠1 D.a≠－1
3．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
4、已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
26.1.2 二次函数y＝ax2的图象与性质

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
















1．抛物线y＝x2与y＝－x2关于______对称，开口大小______．

开口方向
顶点
对称轴
有最高或低点
最值

y＝x2




当x＝____时,y有最_____值,是______.

y＝－8x2






2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是_________．
3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________．
4．函数y＝x2的图象开口向_____，顶点是______，
对称轴是_____， 当x＝_________时，有最___值是_______．
5．二次函数y＝mx
有最低点，则m＝________．
6．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．
7．写出一个过点（1，2）的函数表达式________________
26.1.3二次函数y＝ax2＋k的图象与性质：

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质















1.抛物线y＝2x2向上平移3个单位,就得到抛物线________;
向下平移4个单位,就得到抛物线________.
2.将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_____.
3.写出一个顶点坐标为(0,－3),开口方向与抛物线y＝－x2方向相反,形状相同的抛物线解析式____.
4.抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向_____平移_____个单位得到的.
6.抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为______,与x轴的交点坐标为_____.
26.1.3二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质















1.抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是_____,与x轴的交点坐标为____.
2.把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为________.
3.将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为_____.
4.抛物线y＝2 (x＋3)2的开口_______;顶点坐标为_______;对称轴是_______;
当x＞－3时,y__________;当x＝－3时,y有_______值是_________.
26.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
















1.
y＝3x2
y＝－x2＋1
y＝(x＋2)2
y＝－4 (x－5)2－3

开口方向





顶点





对称轴





最值





增减性(对称轴左侧)





1.顶点坐标为(－2,3),开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为( )
A.y＝(x－2)2＋3 B.y＝(x＋2)2－3 C.y＝(x＋2)2＋3 D.y＝－(x＋2)2＋3
2.二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为_______.
3.将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线解析式为_____.
4.若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a.k的值.
5.若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的
坐标为（ ）。
26.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质















 2..a.b.c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
(1)a决定:开口方向.形状 (2)c决定与y轴的交点为(0,c)
(3)b与－共同决定b的正负性
(4)△＝b2－4ac

3.平移步骤 概括成八个字“左加右减，上加下减”．
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
⑵ 保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，
4.二次函数
与
的比较
从解析式上看，
与
是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中

1.将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝
2. 用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标.
3.二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(1,－2),则b＝______,c＝_____.
4.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当X=____时,y随x的增大而增大;
当x＝_____时,y有_____值是_____.
5.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.
6.求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标________,与y轴的交点坐标为_____.
7.抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上,则m＝_______.
8.如图:由图可得: a_______0,b_______0,c_______0,
△＝b2－4ac______0
9.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。
⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0
⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
26.1.5 求二次函数的解析式
1.已知抛物线经过点A(－1,0),B(4,5),C(0,－3),求抛物线的解析式.
2.已知抛物线顶点为(1,－4),且又过点(2,－3).求抛物线的解析式.
3.已知抛物线与x轴的两交点为(－1,0)和(3,0),且过点(2,－3).求抛物线的
4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？
5.如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h＝20t－5t2.考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m？如能,需要多少飞行时间？
(2)球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？
(3)球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
6.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P.Q分别从A.B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.
26.2用函数观点看一元二次方程
△＝b2－4ac

1.已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上,则k＝____________.
2.抛物线
与
轴有 个交点，相应二次方程

的根的情况为 ．
3.关于
的方程
有两个相等的实数根，则相应二次函数
与
轴必然相交于 点，此时
．
4.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
6.20

y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.04

A．65.画出函数
的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程
有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

4.如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象,在下列说法中:
①ac＜0;②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3;③a＋b＋c＞0;
④当x＞1时,y随x的增大而增大.正确的说法有_______________(填序号).
26.3. 实际问题与二次函数1
一般的,抛物线y＝ax2＋bx＋c的_______是最低(高)点,所以当_________时
二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(小)值________________.
1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
2.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
3．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，
AB＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，
点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的
长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？

26.3 实际问题与二次函数2
1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量
（件）与销售单价
（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额
总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？
最大值是多少？

26.3 实际问题与二次函数3

1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________．
2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（ ）
A．3m B．2m C．4m D．9m
3.有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
4.如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，
球在头顶上0.25m处出手，问：球出手时，
他距离地面的高度是多少？

5.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的
形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
（2）求支柱MN的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．