二次函数的图象和性质 综合检测题1
一．选择题（每小题4分，共40分）
1、抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2
2、下列命题：
①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（ ）．
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有①④ D． 只有②③④．
3、对于的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为(－3，2) B．对称轴为y=3
C．当时随增大而增大 D．当时随增大而减小
4、 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
5、函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ）
A．±2 B．－2 C．2 D．3
6、自由落体公式h=gt2(g为常量)，h与t之间的关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
7、下列结论正确的是（ ）
A．y=ax2是二次函数
B．二次函数自变量的取值范围是所有实数
C．二次方程是二次函数的特例
D．二次函数的取值范围是非零实数
8、下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
9、对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10、二次函数y=x2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是 （ ） A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=（x+3）2 D．y=（x-3）2
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题（每小题4分，共40分）
11、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，与平均年增长率x之间的函数关系式是 .
12、已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是－1，这个二次函数解析式为 .
13、某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为 x. 则y与x的函数解析式 .
14、m取 时，函数是以x为自变量的二次函数.
15、如图1所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴. 第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是
第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是 .
16、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式 ；
（2）纯收益g关于x的解析式 ；
（3）设施开放 个月后，游乐场纯收益达到最大？ 个月后，能收回投资？
17、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0. 正确的序号是 .
18、已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0
0；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数有 . 19、已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式 .
20、已知二次函数的图象开口向下，且经过原点.请写出一个符合条件的二次函数的解析式 .
三、解答题（共40分）
21、（6分）请画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
22、（8分）已知二次函数y=－x2+x+2 指出
(1)函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)把这个函数的图像向左、向下平移2个单位，得到哪一个函数的图像？
23、（6分）已知y是x的二次函数，当x=2时，y=－4，当y=4时，x恰为方程2x2－x－8=0的根，求这个函数的解析式.
24、（10分）某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
25、 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋0.9.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图像,写出t的取值范围 .
参考答案
一、1、A；提示：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A．
2、B；
3、A、顶点坐标为(－3，2)
4、A
5、C.将（a,8）代入得a3＝8，解得a=2
6、C；是二次函数
7、B.二次函数自变量的取值范围是所有实数
8、C；竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
9、C．对于任意实数m都是二次函数
10、D；本题考查的是抛物线的平移.先画出y=x2的草图，图象向右平移3个单位对称轴为x＝3，选项Ｄ中的二次函数的对称轴为x＝3. 二、11、函数关系式是，即
12、由图像的对称轴和函数的最大值，可知顶点坐标是(3，0)，设y=a(x－3)2,
把x=0，y=－1代入，得9a=－1 ，a=－，∴y=－(x－3)2
13、设今年投资额为2（1+x）元，明年投资为2（1+x）2元
∴由题意可得.y=2(1+x)+2(1+x)2=2x2+6x+4
14、若函数是二次函数，则
．解得 ，且．
因此，当，且时，函数是二次函数．
15、解：（1）①，④； （2）②，③，④.
16、（1）y=x2+x； （2）纯收益g=33x-150-（x2+x）=-x2+32x-150 （3）g=-x2+32x-150=-（x-16）2+106，即设施开放16个月后游乐场的纯收益达到最大. 又在00，所以6个月后能收回投资.
17、正确的序号为①②③④.
从图象中易知a>0，b<0，c<0，③正确；抛物线顶点纵坐标为-1，∴ ①对；当x=-1时y=a-b+c，由图象知（-1，a-b+c）在第二象限，∴ a-b+c>0，④正确；设C（0，c），则OC=|c|，∵ OA=OC=|c|，∴ A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确. 18、这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵ 00正确；∵－=-1， ∴ b=2a，∴ b-a=2a-a=a>0.∴ b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ∴ ③正确；故答案为2个.
19、解：∵点（1，0），（-5，0）是抛物线与x的两交点, ∴ 抛物线对称轴为直线x=-2， ∴ 抛物线的顶点坐标为（－2，）， 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则有 ∴ 所求二次函数解析式为
20、如果设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，因为图象开口向下，所以a为负数，图象过原点，即c＝0，满足这两个条件的解析式有无数个. 解：y＝－x2＋3x.
三、21、分析:由以上探索求知，大家已经知道函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质.
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－6
－4
－2
－2
－2
－4
－6
…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2＋x－的图象.
说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值.相应的函数值是相等的.
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观.
则可得到这个函数的性质如下:
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2.
22、解：(1)配方，y=－(x2－4x+4－4)+2=－(x－2)2+3
∴图像的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，3）.
(2)把这个函数的图像向左、向下平移2个单位，顶点成为(0,1)，形状不变，得到函数y=－x+1的图像.
23、解：本题不便求出方程2x2－x－8=0的根，设这个方程的根为x1、x2，则当x=x1，x=x2时，y=4，可设y=a(2x2－x－8)+4
把x=2，y=－4代入，得－4=a(2×22－2－8 )+4得a=4，所求函数为
y=4(2x2－x－8)+4=8x2－4x－28
24、分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定.
在这个问题中，每件服装的利润为（），而销售的件数是（+204），那么就能得到一个与之间的函数关系，这个函数是二次函数.
要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.
解：（1）由题意，销售利润与每件的销售价之间的函数关系为
=（－42）（－3＋204），即=－32+8568
（2）配方，得=－3（－55）2+507
∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元.
25、解：（1）由题意得点E（1,1.4）, B(6,0.9), 代入y=ax2+bx+0.9得
解得
∴所求的抛物线的解析式是y=－0.1x2＋0.6x+0.9.
（2）把x=3代入y=－0.1x2＋0.6x+0.9得y=－0.1×32＋0.6×3+0.9=1.8
∴小华的身高是1.8米
（3）1＜t＜5
二次函数的图象和性质 综合测试题2
一、填空题
1．抛物线y＝－x2＋15有最______点，其坐标是______．
2．若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为____________．
3．若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与抛物线y＝x2－4x＋3的图象关于y轴对称，则函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为______．
4．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b＝______．
5．二次函数y＝x2－6x＋c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝______．
6．二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为_______．
二、选择题
7．把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )
A．(－5，1) B．(1，－5)
C．(－1，1) D．(－1，3)
8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则它的对称轴是( )
A． B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
9．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4
10．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )
A．y＝x B．x轴 C．y＝－x D．y轴
11．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )
A．h＝m B．k＞n
C．k＝n D．h＞0，k＞0
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；；④b＜1．其中正确的结论是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
13．下列命题中，正确的是( )
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＜0；
②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根．
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
三、解答题
14．把二次函数配方成y＝a(x－k)2＋h的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数的图象与x轴、y轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?
16．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且，
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．
17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．
18．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．
根据图象提供的信息解答下面问题：
(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本)
(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?
四、附加题
19．如图甲，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图乙)，直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．
参考答案
1．高，(0，15)． 2．y＝－x－2． 3．y＝x2＋4x＋3． 4．b＝－4．
5．c＝5或13． 6．
7．C． 8．D． 9．A． 10．C． 11．C． 12．B． 13．C．
14．顶点坐标，对称轴方程x＝3，当y＜0时，2＜x＜4，
图略．
15．当时，
16．(1)由得m＝1，n＝3．∴y＝－x2＋4x－3；
(2)S△ACP＝6．
17．(1)直线y＝x－3与坐标轴的交点坐标分别为B(3，0)，C(0，－3)，以A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得解
得
∴所求抛物线的解析式是y＝x2－2x－3．
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．
(3)经过原点且与直线y＝x－3垂直的直线OM的方程为y＝－x，设M(x，－x)，
因为M点在抛物线上，∴x2－2x－3＝－x．
因点M在第四象限，取
18．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．
(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t(月)的二次函数，由图象可知，
抛物线的顶点为(6，4)，
∴可设Q＝a(t－6)2＋4．
又∵图象过点(3，1)，
∴1＝a(3－6)2＋4，解之
由题知t＝3，4，5，6，7．
(3)由图象可知，M(元)是t(月)的一次函数，
∴可设M＝kt＋b．
∵点(3，6)，(6，8)在直线上，
解之
其中t＝3，4，5，6，7．
∴当t＝5时，元
∴该公司在一月份内最少获利元．
19．解：在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°．延长AD分别交PM、PN于点G、H，过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．
∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm．
∵MN＝8cm，
∴MT＝6cm，因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和
Rt△PMN重叠部分的形状，可分为下列三种情况：
(1)当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2)，如图①所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，
，即
图①
(2)当C点由F点运动到T点的过程中(2＜x≤6)，如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG．
图②
∵MC＝x，MF＝2，
∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，
(3)当C点由T点运动到N点的过程中(6＜x≤8)，如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG．
图③
∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2，
二次函数的图象和性质 综合检测题3
（时间：90分钟，总分：120分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4） D.（0，－4）
2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
3.抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知反比例函数y＝的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y＝2kx2－x+k2的图象大致为如图2中的（ ）
6. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图3，则点（b，）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A.y＝x2+a B.y＝a(x－1)2 C.y＝a(1－x)2 D.y＝a(l+x)2
8. 若二次函数y＝ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取（x1+x2）时，函数值为（ ）
A.a+c B.a－c C.－c D.c
9. 不论m为何实数，抛物线y＝x2－mx＋m－2（ ）
A.在x轴上方 B.与x轴只有一个交点 C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方
10. 若二次函数y＝x2－x与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A.这两个函数图象有相同的对称轴 B.这两个函数图象的开口方向相反
C.方程－x2+k＝0没有实数根 D.二次函数y＝－x2＋k的最大值为
二、填空题（每题3分，共24分）
11.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 .
12.若点A(2，m)在抛物线y＝x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是 .
13.二次函数y＝2x2+bx+c的顶点坐标是(1，－2).则b＝ ，c＝ .
14.已知二次函数y＝ax2+bx+c (a≠0）与一次函数y＝kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4），B(8，2)，如图4所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是 .
15.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
2
5
10
17
26
…
若输入的数据是x时，输出的数据是y，y是x的二次函数，则y与x 的函数表达式为 .
16.平移抛物线y＝x2+2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 .
17.抛物线y＝ax2+bx+c中，已知a∶b∶c＝l∶2∶3，最小值为6，则此抛物线的解析式为 .
18.把一根长100cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是 .
三、解答题
19.利用二次函数的图象求下列方程的近似根：（1）x2＋x－12＝0；（2）2x2－x－3＝0.
20.已知抛物线与x轴交于点(1，0)和(2，0)且过点 (3，4).求抛物线的解析式.
21.已知二次函数y＝x2－6x+8.求：
（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；
（
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