北 师 大• 八 年 级《 数 学 ( 下 ) 》
课首

第２７章 二次函数
华 师 大 • 九年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
甘肃省甘谷县金山学区郑家山学校
　　　教师：王彦杰
27．２ 二次函数图象与性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
1.二次函数y=ax2（a≠0)的图象与性质
学习目标
1、用描点法画的图象y=ax2 的图象,并能通过图象认识二次函数性质.
2、能确定二次函数y=ax2图象的顶点,开口方向和对称轴
你想直观地了解它的性质吗?
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
…
…
9
4
1
0
1
4
9
描点,连线
y=x2
观察图象,回答问题串
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路径,我
们把它叫做抛物线.
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大.
抛物线y=x2的图象在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
到17张
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
观察图象,回答问题串
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.
y=-x2
描点,连线
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
y
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大.
当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小.
y
抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
到17张
看图说话
函数y=x2 y= -x2的图象和性质:
y=x2
y=-x2
它们之间有何关系？
二次函数y=x2 y= -x2 的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
看图说话
y=x2
y=-x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
返回8
返回13
我思，我进步
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
知道就做别客气
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的
左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,
当x 0时,y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
回味无穷
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
由二次函数y=x2和y=-x2知：

同学们：
本节课到此结束
你学到了什么