26.1二次函数
想一想： 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？
二次函数
说一说
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？
抛物线型桥拱
奥运赛场腾空的篮球
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为
问题1:
y=6x2①
亲历知识的发生和发展
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
问题2:
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,
连接与这点不相邻的各顶点,可以作 条
对角线.
n
(n-3)
因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数
M
N
即

某工厂一种产品现在的年产量是20件，计
划今后两年增加产量。如果每年都比上一
年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产
量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之
间的关系应怎样表示?
问题3：
函数①②③有什么共同点?
观察：
y=6x2 ①
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0） 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数bx叫做一次项，c为常数项。
议一议：
已知函数y=ax²+bx+c
(1)a,b,c是怎样的数时，它是正比例函 数？
a=0,b≠0,c=0
（2）当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数？
a=0,b≠0,c为任意实数
（3）当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数？
a≠0,b,c为任意实数
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ )
(3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( )
(5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )
不是
是
不是
不是
是
不是
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1
（3） y=x(1+x)
（2） y=5x2-6
看谁反应快
小试牛刀
例2.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
xm
y m2
xm
（40-2x ）m
解：
由题意得：
Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x
(0当x＝12m时，菜园的面积为：
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
生活问题数学化
?
设人民币一年教育储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
说说你这节课有什么收获与体会？
一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0),
反比例函数y= (k≠0) ，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
小结：
可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
B
C
当堂测评
当堂测评
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.

2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
即