庄浪县中小学课件参赛作品
Zhuang Lang Xian Zhong Xiao Xue Ke Jian Can Sai Zuo Pin
数学
Shu Xue
学校：大庄中学　　　　制作：高长斯
二次函数的几种解析及求法
学习目标
一、知识目标：
1、学习二次函数的几种常见解析式。
2、进一步学习几种解析式之间的转化。
3、体会几种解析式只有形式不同而实质相同。
二、技能目标：
1、学习待定系数法、配方法、数形结合法求二次函数
的解析式。
2、学习二次函数与一元二次方程之间的转化，体会转化思想在数
学中的应用
三、能力培养：
1、会选择二次函数适当的形式解决具体问题。
2、会构建适当形式的二次函数解决生活中的实际问题，体验数学
来源于生活，而又高于生活。
练习1
练习2
思想方法
应用举例
一般式
顶点式
交点式
例2 应用
例1
尝试练习
二次函数的几种解析式及求法
前　言
二次函数解析式
练习3
小　结
平移式
例3 平移式
练习4
二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。
一、二次函数常用的几种解析式的确定
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。
1、一般式
2、顶点式
3、交点式
4、平移式
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法：
2、求二次函数解析式的 常用思想：
3、二次函数解析式的最终形式：
待定系数法、配方法、数形结合等。
转化思想 : 解方程或方程组
无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。
例1、已知二次函数 的图像如图所示，
求其解析式。
解法一： 一般式
设解析式为
∵顶点C（1，4），
∴对称轴 x=1.
∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称，
∴B（3，0）。
∵A(-1,0)、B（3，0）和
C（1，4）在抛物线上，
∴
即：
三、应用举例
例1、已知二次函数 的图像如图所示，
求其解析式。
解法二：顶点式
设解析式为
∵顶点C（1，4）
∴
又∵A(-1,0)在抛物线上，
∴
∴ a = -1
即：
∴
∴ h=1, k=4.
三、应用举例
解法三：交点式
设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
∴ y = a (x+1) (x- 3)
又 C（1，4）在抛物线上
∴ 4 = a (1+1) (1-3)
∴ a = -1
∴ y = - ( x+1) (x-3)
即：
例1、已知二次函数 的图像如图所示，
求其解析式。
三、应用举例
评析：
刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。
2007年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。
三、应用举例
即：
∴
E
F
a = -0.1
解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形
过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。
∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。
∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。
设解析式为
又 ∵A（-2，2）点在图像上，
∴
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。
P
Q
(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。
y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6
解： ∵
∴
∴顶点（-6，3.6）,
当水位为2.5米时，
∴ 船不能通过拱桥。
PQ是对称轴。
例3、将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
解法：将二次函数的解析式
转化为顶点式得：
(1)、由 向左平移4个单位得：
（左加右减）
（2）、再将 向下平移3个单位得
（上加下减）
即：所求的解析式为
三、应用举例
1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为
　　-1，求其解析式。
∴
四、尝试练习
解：设二次函数的解析式为
∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。
又（0，0）在抛物线上，
∴ a = 1
即：
∴
∴
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
∴
又∵点（0，1）在图像上，

∴ a = -1
即：
∴
∴
∴
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？
四、尝试练习
即当x= OC=1.6÷2=0.8米时，过C点作CD⊥AB交抛物线于D点，若y=CD≥3米，则卡车可以通过。
分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？
解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），
B（3.6，0），P（0，3.6）。
又∵P（0，3.6）在图像上，
当x=OC=0.8时，
∴卡车能通过这个隧道。
四、尝试练习
4、将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。
解：∵ 二次函数解析式为
（1）、由 向右平移1个单位得：
（左加右减）
（2）、再把 向上平移4个单位得：
（上加下减）
即：所求的解析式为
刘炜跳投
想一想
5. 刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?
分析：要求出他跳离地面的高度，关键是
1.首先要求出该抛物线的函数关系式
2.由函数关系式求出C点的坐标，即求出点C 离地面的高度h，
h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的高度.
h
如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?
探索:
y
x
o
h
解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05)
所以，设所求的抛物线为y=ax²＋3.5
又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得
a=-0.2
即所求抛物线为y=-0.2x²＋3.5
当x=-2.5时,代入得y=2.25
又2.25-1.9-0.15=0.2m
所以,他跳离地面的高度为0.2m
6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
（2）求此抛物线的解析式；
（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？
6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
解：（1）B（10，0），D（5，3）
设货车速度为x km／h，能安全通过此桥.
则4x+40≥280 解得x≥60
故速度不小于60km／h，货车能安全通过此桥。
（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km，货船以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？
6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
五、小结
1、二次函数常用解析式
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。
3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。
一般式
顶点式
交点式
2、求二次函数解析式的一般方法：
已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。
平移式
谢谢