第二十二章　二次函数
22.2　二次函数与一元二次方程
九年级上册人教版数学
第1课时　二次函数与一元二次方程之间的关系
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c，当____________时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的____________．
练习1：抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是_________，__________，方程x2－2x－3＝0的解是_____________________．
y＝0
横坐标
(3，0)
(－1，0)
x1＝3，x2＝－1
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴____交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有_______交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有_______交点．
练习2：(2016·永州)抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．m＜2 B．m＞2
C．0＜m≤2 D．m＜－2
无
一个
两个
A
知识点1：二次函数与一元二次方程
1．(2016·滨州)抛物线y＝2x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(2016·宿迁)若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1
C
C
3．如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(2，0)，对称轴是直线x＝－1，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是( )
A．(－2，0)
B．(－3，0)
C．(－4，0)
D．(－5，0)
4．抛物线y＝x2＋6x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为____．
C
9
知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解
5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( )
A.2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24
C.2.24＜x＜2.25 D．2.25＜x＜2.26
C
6．用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．
　解：设y＝2x2－4x－1，画出图象(如图)．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0，即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2
知识点3：二次函数与不等式
7．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A．x＜－1
B．x＞2
C．－1＜x＜2
D．x＜－1或x＞2
C
8．(2017·衡水五中模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)x1＝1，x2＝3　(2)1＜x＜3　(3)x＞2　(4)k＜2
9．(2016·益阳)关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
D
10．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
C
11．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为____________________．
(2，0)，(－3，0)
12．(2016·阜新改编)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是________________．
x1＝0，x2＝2
13．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系；(直接写结果)
(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
　解：(1)y＝(x－2)2－1　(2)图象略　(3)y1＞y2
(4)该方程的根是二次函数图象在y＝2时对应点的横坐标
14．(阿凡题：1070542)(2016·淄博)如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
15．(阿凡题：1070543)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．
解：(1)解方程x2＋4x－5＝0，得x＝－5或x＝1，由于x1＜x2，则有x1＝－5，x2＝1，∴A(－5，0)，B(1，0)．抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－1)(a＞0)，则D(－2，－9a)，∴C(0，－5a)．
第二十二章　二次函数
22.2　二次函数与一元二次方程
九年级上册人教版数学
第2课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：
(1)当a＞0时，开口________，当a＜0时，开口________；
(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b________，若对称轴在y轴的右边，则a，b________；
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c____0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c____0，若抛物线经过原点，则c____0；
向上
向下
同号
异号
＞
＜
＝
练习：(2016·枣庄)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c＞0；③a＞b；④4ac－b2＜0.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
知识点：二次函数图象与字母系数的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )
A．a＞0 B．c＞0
C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0
D
2．(2016·烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
B
D
2．(2016·烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
B
D
5．(2016·内江)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是____________．
P＞Q
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)求y的取值范围．
　解：(1)x＝－5或x＝1　(2)－5＜x＜1　(3)y≤9
7．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )
A
9．(阿凡题：1070545)(2016·广安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中，正确的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
11．(阿凡题：1070547)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
12．(阿凡题：1070548)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比较y1与y2的大小．