11．2三角形全等的判定习题精选
　　选择题：
　　1．下列说法错误的个数是(        )
　　(1)有两边与一角对应相等的两个三角形全等
　　(2)有两个角及一边对应相等的两个三角形全等
　　(3)有三个角对应相等的两个三角形全等
　　(4)有三边对应相等的两个三角形全等
　　A．4           B． 3          C．2           D．1
　　答案：C
　　说明：(1)两边与一角对应相等，并未说明这个角就是这两边的夹角，而只有两边与它们的夹角对应相等时，才能判定这两个三角形全等，因此(1)错误；(2)正确，因为两个角及一边对应相等，即符合角边角，或角角边这两种情况之一，因此，可以判定这两个三角形全等；(3)错，只有三个角对应相等的两个三角形，不知道它们之间对应边是否相等，因而不能判定它们全等；(4)正确，三边对应相等，即符合边边边这种情况，因此，可以判定这两个三角形全等；所以答案为C．
　　2．如图，MP = MQ，PN = QN，MN交PQ于O点，则下列结论中，不正确的是(        )
　　A．△MPN≌△MQN
　　B．OP = OQ
　　C．MQ = NO
　　D．∠MPN =∠MQN
　　答案：C
　　说明：由MP = MQ，PN = QN，以及MN为ΔMNP与ΔMNQ的公共边，可知ΔMNP≌ΔMNQ(SSS)，则∠MPN =∠MQN，∠PNM =∠QNM，又ON为ΔONP与ΔONQ的公共边，所以ΔONP≌ΔONQ(SAS)，则OP = OQ，所以A、B、D中的结论都是正确的，而C中的结论是无法得到的，答案为C．
　　3．如图，AB = DB，BC = BE，欲证△ABE≌△DBC，则须增加的条件是(        )
　　A．∠A =∠D
　　B．∠E =∠C
　　C．∠A =∠C
　　D．∠1 =∠2
　　答案：D
　　说明：因为AB = DB，BC = BE，要使△ABE≌△DBC，只须AB、BE的夹角与DB、BC的夹角相等，即∠DBC =∠ABE，而∠DBC =∠DBE+∠2，∠ABE =∠DBE+∠1，所以只要∠1 =∠2，就可得到∠DBC =∠ABE，从而得出△ABE≌△DBC，所以答案为D．
　　4．如图，已知AB//CD，AD//CB，则△ABC≌△CDA的依据是(        )
　　A．SAS
　　B．ASA
　　C．AAS
　　D．以上都不对
　　答案：B
　　说明：由AB//CD可知∠BAC =∠DCA，由AD//CB，则有∠DAC =∠ACB，又在ΔABC与ΔCDA中AC为公共边，而在ΔABC中∠BAC与∠ACB所夹的边即AC，ΔCDA中∠DCA与∠DAC所夹的边即AC，所以由∠BAC =∠DCA，∠DAC =∠ACB，AC为ΔABC与ΔCDA的公共边，可得△ABC≌△CDA，依据则是角边角，答案为B．
　　
　　5．如图，AO = BO，CO = DO，AD与BC交于E，∠O = 40º，∠B = 25º，则∠BED的度数是(        )
　　A．60º
　　B．90º
　　C．75º
　　D．85º
　　答案：B
　　说明：因为AO = BO，CO = DO，∠O为ΔCOB与ΔDOA的公共角，所以ΔCOB≌ΔDOA(SAS)，因此，∠A =∠B = 25º；又因为∠O = 40º，∠B = 25º，所以∠ACB =∠B+∠O = 65º，∠BDA =∠A+∠O = 65º，而∠BED = 180º−∠B−∠BDA = 180º−25º−65º = 90º，所以答案为B．
　　4．如图，已知△ABD和△ACE中，AB = AC，AD = AE，欲证△ABD≌△ACE，须补充的条件是(        )
　　A．∠B =∠C
　　B．∠D =∠E
　　C．∠DAE =∠BAC
　　D．∠CAD =∠DAC
　　答案：C
　　说明：AB、AD为ΔABD中两边，它们的夹角是∠BAD，而AC与AE的夹角则是∠CAE，因此只须∠BAD =∠CAE，ΔABD即与ΔACE全等，因为∠BAD =∠BAC+∠CAD，∠CAE =∠CAD+∠DAE，所以若要∠BAD =∠CAE，只要∠BAC =∠DAE，因此答案为C．
　　5．在△ABC和△DEF中，下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是(        )
　　A．AB = DE，∠B =∠E，∠C =∠F
　　B．AC = DF，BC = DE，∠C =∠D
　　C．AB = EF，∠A =∠E，∠B =∠F
　　D．∠A =∠F，∠B =∠E，AC = DE
　　答案：D
　　说明：选项A、B、C中的条件都可以判定ΔABC与ΔDEF全等；只有选项D是错误的，因为若∠A =∠F，∠B =∠E，则知点A与点F为对应顶点，点B与点E为对应顶点，因此，点C与点D是对应顶点，所以AC边应与FD边为对应边，而AC与DE不是对应边，这样∠A =∠F，∠B =∠E，AC = DE不符合角角边，或角边角的条件，因此，不能判定这两个三角形全等，答案为D．
　　6．下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是(        )
　　A．两条直角边对应相等
　　B．斜边和一锐角对应相等
　　C．斜边和一条直角边对应相等
　　D．两个直角三角形的面积相等
　　答案：D
　　说明：选项A、B、C都是判定直角三角形全等的正确方法，只有D是错误的，因为两个直角三角形的面积相等无法保证它们的对应边相等，所以答案为D．
　　7．下列命题中不正确的是(        )
　　A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
　　B．有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等
　　C．有一条边相等的两个直角三角形全等
　　D．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等
　　答案：C
　　说明：对A而言，斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形，满足AAS公理；对于B，无论是两条直角边对应相等，还是一条直角边与斜边对应相等，均满足三角形全等的SAS或HL公理，但这对应的两边，在一个三角形中是两直角边，在另一个三角形中是一斜边和一直角边时这两个三角形不全等，故B正确，C不正确；对于D，不论是一条直角边对应相等，还是斜边对应相等，均满足三角形全等的AAS或ASA，但如果这对应边在一个三角形中是直角边，而在另一个三角形中则是斜边，那么这两个三角形就不全等，所以D正确；答案为C．
　　8．如图，已知△ABC中，AB = AC，AE = AF，AD⊥BC于D，且E、F在BC上，则图中共有(        )对全等的直角三角形．
　　A．1
　　B．2
　　C．3
　　D．4
　　答案：B
　　说明：AB = AC，AD⊥BC，且AD为公共边，可知RtΔADC≌RtΔADB(HL)，同样AE = AF，AD⊥BC，且AD为公共边，可知RtΔADF≌RtΔADE(HL)，而由已知条件不难得出图中只有这四个直角三角形，所以共有2对全等的直角三角形，答案为B．
　　9．如图，已知△ABC中，∠1 =∠2，PR = PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS = AR；②QP//AR；③△BRP≌△QSP中(        )
　　A．全部正确
　　B．①和②正确
　　C．仅①正确
　　D．①和③正确
　　答案：B
　　说明：∵PR = PS，PA = PA，∴RtΔAPR≌RtΔAPS(HL)，∴∠1 =∠RAP，AS = AR，又∠1 =∠2，∴∠RAP =∠2，∴QP//AR；①②正确；而ΔBRP与ΔQSP中，只有∠PRB =∠PSQ，RP = SP，无法判定△BRP≌△QSP，③不正确，答案为B．
　　解答题：
　　1．如图，已知AD = CB，AE = CF，DE = BF；求证：AB//CD．
　　证明：因为AD = CB，AE = CF，DE = BF，
　　所以ΔADE≌ΔCBF(SSS)，则∠DEA =∠BFC，AE = CF，DE = BF，
　　又∠DEC = 180º−∠DEA，∠BFA = 180º−∠BFC，
　　所以∠DEC =∠BFA，
　　而AF = AE+EF，CE = CF+FE，
　　所以AF = CE，
　　因此ΔAFB≌ΔCED(SAS)，
　　则∠DCE =∠BAF，所以AB//CD．
　　2．如图，已知AB = CD，AC = DB；求证：∠A =∠D．
　　证明：因为AB = CD，AC = DB，且BC为ΔABC与ΔDCB的公共边，所以ΔABC≌ΔDCB，因此∠A =∠D．
　　3．如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论．
　　答案：AG = AD，AG⊥AD．
　　证明：∵AC = BD，CG = AB，又∠ACG+∠CAB = 180º−∠AFC = 180º−90º = 90º，
　　同样可得∠ABE+∠CAB = 90º，
　　∴∠ACG =∠ABE
　　∴△AGC≌△DAB(SAS)，则AD = AG，∠G =∠BAD．
　　∵∠G+∠GAB = 90º，
　　∴∠BAD+∠GAB = 90º，即∠GAD = 90º，
　　∴AG⊥AD．
　　4．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE．
　　(1)求证：BC = BD；
　　(2)若BD = 8cm，求AC的长．
　　答案：
　　(1)证明：∵DE = BA，∠DBE =∠BCA = 90º，
　　又∠DEB+∠ABC = 90º，∠A+∠ABC = 90º，
　　∴∠DEB =∠A，∴△ACB≌△EBD(AAS)，则有BC = BD．
　　(2)由△ACB≌△EBD，得AC = EB
　　∵E为BC的中点，∴EB =
BC．
　　∵BD = 8cm，BC = BD，∴BC = 8cm．
　　∴AC = EB =
BC = 4cm．
　　5．如图，已知AB⊥FC于B，DE⊥FC于E，AB、DF交于M，AC、DE交于N，BF = CE，AC = DF．求证：(1)∠A =∠D；(2)MF = NC．
　　证明：(1)∵BF = EC，∴BF+BE = EC+BE，即FE = CB
　　又∵AC = DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，得∠A =∠D；
　　(2)由Rt△ABC≌Rt△DEF，得∠F =∠C，
　　∵BF = EC，∠MBF =∠NEC = 90º
　　∴△FBM≌△CEN(ASA)，得MF = NC．
　　6．如图，AB = BC，AD = DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥DB交BD延长线于G，EF⊥DB交BD延长线于F．求证：CG+EF = DB．
　　证明：过A点作AK⊥BD于K，
　　∵AD⊥DE，∴∠ADK+∠EDF = 90º，
　　又∵EF⊥ED，∴∠ADK =∠E，
　　则在△EFD与△DKA中AD = DE，∠ADK =∠E，∠AKD =∠EFD，∴△EFD≌△DKA(AAS)，
　　得EF = DK；
　　同理可证△ABK≌△BCG，得BK = CG，
　　∴CG+EF = BK+DK = DB．