12.2 三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定（一）（SSS）
∠A =∠A′
AB =A′B′
已知△ABC ≌△ A′B′ C′,找出其中相等的边与
角：
思考　满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′
吗？
创设情境，导入新知
∠B =∠B′
BC =B′C′
∠C =∠C′
AC =A′C′
追问1　当满足一个条件时, △ABC 与△A′B′C′
全等吗？
动脑思考，分类辨析
思考　如果只满足这些条件中的一部分，那么能保　　
证△ABC ≌△A′B′C′吗？
思考　如果只满足这些条件中的一部分，那么能保
证△ABC ≌△A′B′C′吗？
两个条件
追问2　当满足两个条件时, △ABC 与△A′B′C′
全等吗？
动脑思考，分类辨析
思考　如果只满足这些条件中的一部分，那么能保
证△ABC ≌△A′B′C′吗？
三个条件
追问3　当满足三个条件时， △ABC 与△A′B′C′
全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？
动脑思考，分类辨析
画法:
（1）画线段B′C′=BC ；
（2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC 为半径画弧，两
弧交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′Ｃ′.
动手操作，验证猜想
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，
使A′B′= AB，B′C′= BC，A′C′= AC．把画好的
△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
边边边公理：
　　三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边
边”或“SSS”.
动脑思考，得出结论
思考　作图的结果反映了什么规律？你能用文字语
言和符号语言概括吗？
在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴　△ABC ≌△A′B′C′ （SSS）．
判断两个三角形全等的推理
过程，叫做证明三角形全等.
用符号语言表达:
动脑思考，得出结论
证明：∵　D 是BC 中点，
∴　BD =DC．
　在△ABD 与△ACD 中，
∴ 　△ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
应用所学，例题解析
例　如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是
连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．
作法：
（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB 于点C、D；
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
应用所学，例题解析
O
D
B
C
A
作法：
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半
径画弧，交O′A′于点C′；
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
应用所学，例题解析
O′
C′
A′
O
D
B
C
A
作法：
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中
所画的弧交于点D′；
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
应用所学，例题解析
O′
D′
C′
A′
O
D
B
C
A
作法：
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
应用所学，例题解析
O′
D′
B′
C′
A′
O
D
B
C
A
作法：
（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半
径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中
所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
应用所学，例题解析
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）探索三角形全等的条件，其基本思路是什么？
（3）“SSS”判定方法有何作用？
课堂小结
12.2 三角形全等的判定
第2课时 三角形的全等的判定（二）（SAS）
尺规作图，探究边角边的判定方法
问题1　先任意画出一个△ABC，再画一个
△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=
CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的
△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
尺规作图，探究边角边的判定方法
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
（1） 画∠DA′E =∠A；
（2）在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A′E上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′．
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
∴　△ABC ≌△ A′B′ C′（SAS）．
尺规作图，探究边角边的判定方法
归纳概括“SAS”判定方法:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可
简写成“边角边”或“SAS ”）．
课堂练习
下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理
由．
课堂练习
图甲与图丙全等，依据就是“SAS”，而图乙中
30°的角不是已知两边的夹角，所以不与另外两个三角
形全等．
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因
为它完整地保留了两边及其夹角，
一个三角形两条边的长度和夹角的
大小确定了，这个三角形的形状、
大小就确定下来了．
应用“SAS”判定方法，解决简单实际问题
问题2　某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个
顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完
全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一
块去，能试着说明理由吗？
例题讲解，学会运用
例　如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
例题讲解，学会运用
证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴　△ABC ≌△DEC（SAS）．
∴　AB =DE
（全等三角形的对应边相等）．
如图，在△ABC 和△ABD 中，
AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，
但△ABC 和△ABD 不全等．
探索“SSA”能否识别两三角形全等
问题3 两边一角分别相等包括“两边夹角”和
“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已
探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”
的条件能判定两个三角形全等吗？
画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE
=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全
等？

两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三
角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，
△ABC 和△DEF 不一定全等．
探索“SSA”能否识别两三角形全等
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用
“SAS”判定三角形全等应注意什么问题？
（3）到现在为止，你学到了几种证明两个三角形
全等的方法？
课堂小结
12.2 三角形全等的判定
第3课时 三角形全等的判定（三）（ASA,AAS）
问题1　先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一
张纸上画△DEF，使EF =BC，∠E =∠B，∠F =∠C．
△ABC 和△DEF 能重合吗？根据你画的两个三角形
及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法
吗？
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（
简称为“角边角”或“ASA”）．
动手画图，探究“ASA”判定方法
适时引申，探究“AAS”判定方法
问题2　解答下面问题，你能获得什么结论？如图，
在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF，
△ABC 与△DEF 全等吗？你能利用“ASA”证明你的
结论吗？
应用“ASA” 判定方法，解决实际问题
问题3　如图，小明、小强一起踢球，不小心把一
块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔
偿．你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买
到一块完全一样的玻璃吗？
例题示范，巩固新知
证明：在△ABE 和△ACD 中，
∴　△ABE ≌△ACD（ASA）．
∴　AE =AD．
例1　如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA =AC，
∠B =∠C．求证：AD =AE．
例题示范，巩固新知
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B.
同理∠F=180°-∠D-∠E.
又∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F.
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（ASA）
例2　如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证△ABC≌△DEF.
例题示范，巩固新知
∴　△ADC ≌△AEB（AAS）．
∴　AC =AB．
例3　如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB =AC．
证明：
课堂练习
练习　如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE =
CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
证明：∵　AD∥CB ，
∴　∠A =∠C.
∵　AE =CF ，
∴　AF =CE.
在△ADF 和△CBE 中,
课堂练习
练习　如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE =
CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
∴　△ADF ≌△CBE（AAS）．
∴　DF =BE．
证明：
课堂练习
变式　若将条件 “∠B =∠D”变为“DF∥BE”，
那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．
成立，因为DF∥BE，则∠DFE=∠BEF
在△AFD与△CEB中，根据内角和定理，可得到∠B=∠D，后面的证明可参照例题
课堂小结
（1）本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？
分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？
（2）本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等，
则三角形全等” 来代替？
12.2 三角形全等的判定
第4课时 直角三角形全等的判定（四）
（HL）
课件说明
本节课是在学生学习了“SSS、SAS、ASA、AAS”
四种三角形全等判定方法的基础上，探究直角三角
形全等的一种特殊判定方法“HL”．
学习目标：
　1．探索并理解“HL”判定方法．
　2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．
学习重点：
理解并运用“HL”判定方法．
课件说明
问题1　如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全
等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测
量．你能帮工作人员想个办法吗？
创设情境引出“HL”判定方法
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个
问题吗？
问题1　如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全
等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测
量．你能帮工作人员想个办法吗？
创设情境引出“HL”判定方法
（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？
问题2　任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画
一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，
A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到
Rt△ABC上，你发现了什么？
实验操作探索“HL”判定方法
（1） 画∠MC＇N =90°；
（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；
（3） 以B＇为圆心，AB为半径画弧，
交射线C＇ N于点A＇；
（4）连接A＇B＇．
实验操作探索“HL”判定方法
现象：两个直角三角形能重合．
　　说明：这两个直角三角形全等．
画法：
归纳概括“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
几何语言：
∵　在Rt△ABC 和 Rt△A＇B＇C＇中，
　 AB =A＇B＇，
BC =B＇C＇，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△A＇B＇C＇（HL） ．
证明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD，
∴　∠C 和∠D 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB =BA，
AC =BD，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴　BC =AD（全等三角形对应边相等）．
“HL”判定方法的运用
例1　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：
BC =AD．
变式1　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC
≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
“HL”判定方法的运用
“HL”判定方法的运用
例2　如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯
的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
∠ABC +∠DFE =90°
“HL”判定方法的运用
例2　如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯
的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∵　AC⊥AB，DE⊥DF，
∴　∠CAB 和∠FDE 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
“HL”判定方法的运用
例2　如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯
的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∴　 ∠ABC =∠DEF
（全等三角形对应角相等）．
∵ 　∠DEF +∠DFE =90°，
∴ 　∠ABC +∠DFE =90°．
课堂练习
练习1　如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时
出发，以相同的速度分别沿
两条直线行走，并同时到达
D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥
AB． D，E 与路段AB的距离
相等吗？为什么？
解：相等，由题可知，DE=DC，且C为中点，所以AC=BC，那么在RT△ACD≌RT△BCE（HL），即可得到AD=BE，所以D,E到路段AB的距离相等
课堂练习
练习2　如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂
足分别为E ，F，CE =BF．求证：AE =DF．
证明：∵CE=BF，
∴CE-FE=BF-EF
∴CF=BE
且AB=CD
∴△CFD≌△BEA（HL）
即证AE=DF
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学
的四种判定方法有什么不同？
（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？
课堂小结