数轴 教学设计
一、内容和内容解析
本节课的主要内容是数轴概念和用数轴上的点表示有理数．数轴是初中数学中的一个核心概念，它是我们研究相反数、绝对值、有理数运算法则等的图形分析工具；借助数轴的直观性表示不仅可以加深对正数、0、负数的认识，而且还可以帮助我们进一步分析、理解相关数学问题；通过对点在数轴上运动的研究可以推导出有理数的运算法则；利用数轴上表示数的特点来确定有理数的大小和不等式组的解集．数轴作为分析、研究数学问题的工具，不仅揭示了其内在的数形结合思想，而且也为研究数学问题提供了新的方法，为今后建立平面直角坐标系及其运用打下坚实基础．
学习数轴是把数和形有机统一起来的第一次尝试，我们借助教科书中的情境：“在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境”．从情境出发，引导学生通过观察、转化、类比、比较、分析等思维活动，发现“三要素”（基准点、方向和与基准点的距离）在刻画事物相对位置中的作用，把实际问题抽象成用“直线、点、距离等”描述的图形；继而将直线上的点用数表示，实现在一条直线上用0表示“基准点”，借助负数概念引入过程中用正数和负数表示“相反意义的量”的经验，来规定在0的左、右两边分别用负数和正数表示，顺利过渡到用负数、0、正数表示出了这条直线上的点，为定义数轴概念提供一次直观基础。然后通过这一例子与温度计比较，使学生进一步明确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供又一次直观基础，自然引出数轴概念．在数轴概念的建立过程中，应注意渗透0是正数和负数的分界点，原点是数轴的基准点；单位长度是度量线段长度的单位，1是实数单位；原点向右、向左的方向表示了相反方向，它们与正数、负数的对应关系；即原点与0，正向、反向与正数、负数，单位长度与1的对应关系．并具体讲述数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解数轴“三要素”；体会用数轴上的点表示数的合理性，感受其中的数形结合思想．
二、目标和目标解析
1．目标
⑴ 知识与技能
① 理解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；
② 理解数轴的原点、方向和单位长度与0，正负数和1的对应关系，体会数形结合思想．
⑵ 过程与方法
① 通过对数轴概念的建立过程引导学生的思维活动，使学生在学习过程中，不仅学会知识，而且受到研究问题的思想方法训练，从而培养学生的思维能力，逐步发展独立解决问题的能力；
② 经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，逐步渗透相互转化、数形结合的思想方法．
⑶ 情感、态度与价值观
① 让学生体会知识源于生活，并应用于生活的理念；
② 培养学生逐步形成独立思考、自主探索、动手实践、合作交流的学习方式．
2．目标解析
通过对数轴概念的建立过程，让学生明确数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线；当在数轴上给定一个点时，能读出或写出它所表示的数；当给定一个有理数时，能在数轴上找到表示它的点；会画数轴，并用数轴上的点表示有理数．
通过学习让学生体会数轴上的点与数的“一一对应”关系，当任意给定一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示；但在数轴上的一个点，并不一定能用一个有理数来表示．本节课只要求学生知道“所有的有理数，都可以用数轴上的点来表示”即可，无需刻意强调“数轴上的一个点，不一定有一个有理数与之对应”．
三、教学问题诊断分析
从学生的构成与家庭结构方面看，我校七年级学生来自全市23所学校共351人，进城务工子女占全年级学生人数的71.3%，生源参差不齐，构成复杂；从智力与能力发展的年龄特征方面看，七年级学生的思维正处于从以具体形象思维成分为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期．因此，教学内容的呈现必须注意具体性、形象性，同时还要有适当的抽象、概括要求．本节课是学生第一次遇到用形表示数的问题，困难在于其中蕴含的数与形之间的内在联系与相互转化的思想，教学中选择学生熟悉的马路及路边上的一些具体物体作为引入情境，让学生画图描述物体的相对位置，通过借助引入负数概念时的经验逐步过渡到“用数表示直线上的点”和“用直线上的点表示数”，然后再让学生把这一例子与温度计作比较，概括它们的共同点而引入数轴概念．
本节课中，需要明确数轴的三要素（原点、正方向和单位长度）都是规定的且缺一不可，根据“三要素”可以在数轴上找到唯一确定的点，否则“存在性”、“唯一性”就做不到；原点与0，正向、反向与正数、负数，单位长度与1的对应关系，都需要教师引导．
教学难点：数轴的原点、方向和单位长度与0，正负数和1的对应关系．
四、教学支持条件分析
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，将从教学问题诊断和学生学习特点两个方面进行分析，分析在教学过程中存在的和可借助的支持条件．
1．从问题诊断方面看
教学情境的选取既要能适应学生在这一时期的能力发展水平，又要能促进他们的思维向高一阶段发展．教学时选取教科书中的情境作为学习素材，引导他们通过观察、转化、类比、比较、分析等思维活动，发现“基准点”、“方向”和“与基准点的距离”在刻画事物相对位置中的作用，然后借助负数概念引入过程中，用正数和负数表示“相反意义的量”的经验，概括出数轴“三要素”，体会数形结合思想．
2．从学习特点方面看
七年级学生具有好动性，注意力容易分散，喜欢发表见解，希望得到老师和同学的肯定与表扬，教学中应抓住学生的这一生理、心理特点．
针对以上分析，本节课以启发式教学为主，通过对情境的观察、类比、比较、操作等感知活动，并借助温度计和课件、投影仪等辅助手段抽象出数轴概念．
五、教学过程设计
（一）设置情境，引入课题
问题1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
师生活动：以小组为单位从3个方面展开讨论，寻求解决问题的方法．
1．马路可以用什么几何图形来表示？
2．汽车站牌在这个问题中起到了怎样的作用？
3．你是如何确定问题中的柳树、杨树、槐树、电线杆的具体位置的？
设计意图：利用情境和生活经验，通过小组讨论明确用一条直线来表示马路，以汽车站牌为基准、规定单位长度和方向画出柳树、杨树、槐树、电线杆的位置，从中体会利用图形表示问题情境的合理性，感受“基准点”、“方向”和“单位长度”在确定物体相对位置中的作用．
问题2 在直线上怎样用数简明地表示柳树、杨树、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？
师生活动：学生画图后，教师展示部分学生成果的同时进行提问：
1．0在直线上起什么作用？
2．数的符号的实际意义是什么？
3．如图，在一条直线上，A，B的距离等于B，C的距离，点B用3表示，点C用7.5表示，行吗？
4．明确作法并作进一步提问．用这样的方法，我们就可以把这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了．例如，－4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线杆．你能再举个例子吗？
设计意图：在“用数表示直线上的点”的过程中体会“基准点”、“方向”和“单位长度”在刻画事物相对位置中的作用，并初步感受其中的数形结合思想．为定义数轴概念提供直观基础．
问题3 请你描述温度计由哪些数组成，它与问题2中的结果相比有什么共同点和不同点？
师生活动：教师提供温度计实物和图形供学生观察与分析，然后引导学生从以下3个方面进行思考．
1．它们由哪些数组成？
2．温度计可以看作表示正数、0和负数的直线，这些数在温度计中有何实际意义？其中0代表什么？
3．它们与问题2中的结果相比有什么共同点和不同点？
设计意图：借助生活中的温度计，引导学生分析用正数、0和负数表示温度的合理性，从而明确0作为温度基准点的同时也是正数和负数的分界点，体会“用数表示直线上的点”和“用直线上的点表示数”的思想方法，进一步感受其中的数形结合思想，为定义数轴概念提供进一步的直观基础．
（二）引出概念，辨析概念
问题4 通过以上方法的学习，你能否用一条直线上的点来表示数呢？
师生活动：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．师生在同步作图的过程中体会数轴“三要素”的意义，然后归纳出数轴概念．
1．画一条水平直线，并在直线上任取一点作为原点，用数0表示；
2．通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；
3．选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，…；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3，…．如图：
4．像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．其中原点、正方向和单位长度叫做数轴的三要素．
5．在上图中我们不难发现，不仅整数可以用数轴上的点表示，而且分数或小数也可以用数轴上的点表示．例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5，从原点向左
个单位长度的点表示分数
．如图：
设计意图：设置问题1～4的目的是通过一系列的感知活动使学生抽象出“数轴”概念，理解数轴三要素及其对于确定“数轴上的点”的意义；体会0作为正数、负数的分界点，原点作为数轴“基准点”的特殊地位，“方向”与“正负数”、“单位长度”与1的对应关系及数形结合思想．
（三）尝试反馈，巩固概念
1．下列所画数轴对不对？如果不对，请指出错在哪里？
2．如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数．
3．画出数轴并表示下列有理数：
1.5，－2，2，－2.5，
，
，0．
4．数轴上表示3的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？表示数－2的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？设
是一个正数，对表示
的点和表示
的点进行同样的讨论．
设计意图：检测学生对数轴概念的掌握情况；通过对“用数轴上的点表示数”和“用数表示数轴上的点”的练习，进一步巩固数轴概念和渗透数与形之间相互转化的数学思想；通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位置（原点左右）点的特点，培养学生的抽象概括（由具体的数到字母表示的数）能力．
（四）归纳小结
师生共同回顾本节课所学的主要内容，教师提问学生回答：
1．本节课主要学习了哪些内容？
2．数轴的“三要素”各指什么？它们各起什么作用？
3．你能举出引进数轴概念的一个好处吗？
归纳要点：1．数轴概念、数轴三要素、用数轴上的点表示数等；2．原点、正方向、单位长度；原点是数轴的“基准点”表示0，是正数和负数的分界点，正方向是确定正数的方向，单位长度是度量线段长度的标准；3．用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示很多与数相关的问题．（数轴是一个重要概念，它的出现对数学的发展起了重要作用，它揭示了数和形之间的内在联系，很多数学问题都可以以它作为基础，借助图直观地表示，为研究问题提供了新方法．）
设计意图：通过小结，帮助学生进一步梳理本节课所学内容，掌握数轴“三要素”，理解数轴的原点、方向和单位长度与0，正负数和1的对应关系，感受通过数轴把数与形结合起来的思想．
（五）布置作业
教科书第9页练习第3题；
教科书第14页习题1.2第2题．
（六）板书设计
1.2.2 数轴
1．情境
基准点 方向 距离
原 点 正方向 单位长度
2．数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．


数轴三要素：原点、正方向、单位长度．
3．练习
原点、正方向、单位长度缺一不可．
2 右 2个

右
个

个 左

3个 左

4．小结
5．作业