初中数学竞赛
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）

考点：函数最值问题；解一元一次不等式组．
分析：根据﹣1＜2x﹣1＜1，可以得出x的取值范围，进而求出 ﹣1的取值范围即可．
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
2、在面积为1的△ABC中，P为边BC的中点，点Q在边AC上，且AQ=2QC．连接AP、BQ交于点R，则△ABR的面积是　_________　．
考点：面积及等积变换．
分析：连接PQ，利用已知条件条件分别求出△ABP的面积，△BQC的面积，△ABQ的面积，△BQC的面积，以及△ABR和△BRP的面积和为△ABP面积的 这一关系，即可求出△ABR的面积，在解题时时刻注意同底等高的两三角形面积相等．
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）

考点：三角形边角关系；根与系数的关系．
分析：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，设方程两根为x1，x2，再根据两根平方和为10，列出等式并变形，将两根关系整体代入即可．
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
4、数x1，x2，…，x100满足如下条件：对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，则x25的值为　_________　．
考点：整数问题的综合运用．
分析：根据已知对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，得出x2+…+x100=x1+1，x1+x3+…+x100=x2+2…进而得出x1+x2+…+x100的值，即可求出答案．
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
5、已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为　_________　．
考点：对称式和轮换对称式．
分析：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
6、如图，设P是凸四边形ABCD内的一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H．已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE﹣AE=1．则四边形ABCD的周长为　_________　．
考点：勾股定理．
分析：根据勾股定理分别求出AP2、BP2、CP2、DP2，再把四式后一等号两边分别相加，并代入已知数值，最后进行化简，即可得出答案．
解：由勾股定理可得：
AP2=AH2+PH2=AE2+PE2
BP2=BE2+PE2=BF2+PF2
CP2=CF2+PF2=CG2+PG2
DP2=DG2+PG2=DH2+PH2
以上四式后一等号两边分别相加，并代入已知数值可得：
9+BE2+36+1=AE2+16+25+16
化简得：BE2﹣AE2=11，即（BE+AE）（BE﹣AE）=11，
又已知：BE﹣AE=1，
解得：BE=6，AE=5，
故周长为34
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
7、如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为　_________　．

一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
8、不超过1000的正整数x，使得x和x+1两者的数字和都是奇数，则满足条件的正整数x有　_________　个．
考点：奇数与偶数．
分析：满足条件的一位数只有9，满足条件的两位数，要使x的数字之和为奇数，则两位数必满足一奇一偶，再由x+1的数字和也为奇数，那么可得十位数字为偶数，个位数字为奇数，且个位一定为9，三位数则需要前两位的和为偶数，尾数为9，从而可得出符合条件的正整数．
解：①满足条件的一位数只有9；
②对于两位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则十位数字为偶数，个位数字为9，
故满足条件的两位数有：29，49，69，89；
③对于三位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则需要前两位的和为偶数，尾数为9：
故满足条件的数有：119，139，159，179，209，229，249，269，289…共4×5+5×4=40个．
④999和1000
综上可得满足条件的数有：1+4+40+1=46个
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
9、已知k为不超过50的正整数，使得对任意正整数n，2×36n+k×23n+1﹣1都能被7整除，则这样的正整数k有　_________　个．
考点：数的整除性．
分析：首先把2×36n+k×23n+1﹣1整理成2×272n+2k×8n﹣1=2×（﹣1）2n+2k﹣1=2k+1，然后根据原式能被7整除可得2k+1=7m（m是奇数），于是求出k的个数．
解：2×36n+k×23n+1﹣1=2×272n+2k×8n﹣1=2×（28﹣1）2n+2k×（7+1）2n
=2×（﹣1）2n+2k﹣1=2k+1（mod7），
但2×36n+k×23n+1﹣1=0（mod7），
2k+1=0（mod7），即2k+1=7m（m为奇数），
因为1≤k≤50，所以3≤7m≤101，
故m=1、3、…13，相应的k=3、10、…、45共7个．
故答案为7
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
二、解答题（共3小题，共60分）
11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G、H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，y取得最大值？并求出y的最大值．
考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质
分析：延长FE，交AC于D，显然DF∥BC，则Rt△ADF∽Rt△ACB，利用AE=AC=x，求得DE，于是可得方程，然后解方程即可
二、解答题（共3小题，共60分）
12、求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a、b，使得函数f（x）= x2+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数．
考点：含字母系数的二次函数
二、解答题（共3小题，共60分）
13、在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共88个．已知从中任意取出24个，就可以保证至少有10个小球是同色的．问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个小球，才能保证至少有20个小球是同色的？
考点：简单的极端原理
分析：首先证明取出43个球是不够的，进而得出至少取出44个小球，进行讨论分析得出满足条件，才能保证有20个小球同色