初等数论在中学数学竞赛中的应用
指导教师：xxx
答辩学生：xxx
班 级：xxx
学 号：xxx
目 录
选题背景
主要内容
致 谢
一、选题背景
初等数论是研究整数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程。简单的来说，初等数论就是用初等、朴素的方法研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。
初等数论应用最广泛的莫过于数学竞赛了，它是数学竞赛中最重要的一部分。例如历年来“国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO）”、“希望杯”等。据不完全统计，初等数论在IMO中题目所占比例就有30%。由此可见，研究初等数论在中学数学竞赛中的应用是非常有必要的。
在国内，有很多学者对初等数论在中学数学竞赛中的应用进行了研究，有针对初等数论的某一定理展开研究的，也有总结竞赛中常用到的初等数论思想或是解题方法等等。但大都是针对某一定理在高中竞赛中的应用，很少有总结归纳数论知识对初中数学竞赛的应用。
研究现状
二、主要内容
1、整除理论及其应用
2、同余理论及其应用
3、不定方程及其应用
4、总结
1、整除理论及其应用
初等数论是研究整数基本性质的一门十分重要的数学基础课程，由此而言，初等数论的基础便是整除理论了。
本章主要从整除、带余数除法、最大公约数与最小公倍数、高斯函数的基本定义以及其性质出发，结合近几年的中学数学竞赛题来说明整除理论的应用。
2、同余理论及其应用
本章先是对同余的概念及其基本性质做了详细的说明，然后简单地介绍了孙子定理。在数学竞赛中，同余的性质应用的非常广泛，例如判断一个数是不是平方数，求一些数的末两位数是多少等等。在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中同余的性质有着不可替代的功能。
3、不定方程及其应用
每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料。本章主要介绍了一次不定方程和高次不定方程的应用。
二元一次不定方程中主要介绍了竞赛中不定方程求整数解的题型，再求特解的过程中，可以用观察法、辗转相除法或缩小系数等方法。
高次不定方程，根据其自身特点，运用整除理论和有关初等数论的知识，可以有效地求解方程。常用的几种高次不定方程的解法有：余数分析法、因式分解法、约数分析法、奇偶分析法、判别式法等等。本节通过竞赛题简单了介绍了几种方法的使用。
通过对本文的研究，可以看出初等数论的知识在竞赛题中的重要性，在解题时要适当运用其定理和定义，才能更好地解决问题。需要注意的是在运用初等数论知识中解题时常常蕴涵了整体化、配对、化归等数学思想方法。例如整除与带余除法问题；整除与同余问题；不定方程与同余问题都可以等价化归。有些竞赛题更是需要多种数论方法，多种数学思想方法相互交织才能解答，这就要求我们必须要掌握一些初等数论的知识，才能在竞赛题中灵活的应用。
4、总结
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致 谢
谨向我的导师xxx，答辩小组各位老师以及给予我帮助和关心的老师、同学、朋友们表示衷心的感谢！
谢谢各位老师！