第一讲　整数与整除
赛点解读
整数的研究在数学中占有极为重要的地位，由于解决有关证书的问题常需要灵活的方法和独特的技巧，同时综合运用了代数式的变形与分解，解方程和不等式等知识，故在初中数学竞赛中涉及到整数的题目非常多，非常广，整数问题有利于培养学生的综合素质，也便于考察学生的综合能力。
本讲涉及到的热门赛点有：
1、整数的十进制表示法；
2、奇偶性分析；
3、质数与合数；
4、最大公约数与最小公倍数；
5、数的整除特征；
6、整除性质的运用；
7、同余知识初步。
赛点1：整除的十进制的表示法
一般地：十进制的n+1位的自然数N可表示为：
其中
都是整数， 且
例1 小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码。小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是多少？
(2006年全国初中数学竞赛试题）
点拨：设原来电话号码的六位数为 ，
则有
故整体设出
是解题的关键。
完全解答：设原来的六为数为 则经过两
次升位后电话号码的八位数为 根据题
意，有
记
于是
解得：
因为
所以
故
因为 为整数，所以
于是
所以，小明家原来的电话号码为282500
赛点2：奇偶分析
奇数与偶数有以下基本性质：
（1）奇数 偶数
（2）两个整数相加（减）或相乘，结果的奇偶性如下表所示
奇 偶
偶 奇
奇 偶
奇
偶
奇 偶
奇 偶
偶 偶
奇
偶
（3）连续两个整数中一定一奇一偶；
（4）若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数；
（5）设m、n是整数，则 的奇偶
性相同；
（6）若干整数之积为奇数，则必每个数为奇数；若干整数之积为偶数，则其中至少有一个偶数。
例2 若 为互不相等的正奇数，满足

则 的末位数字是（ ）
A、1 B、3 C、5 D、7
（2005年全国初中数学联赛）
点拨：由题意可知，
为偶数，又由 分解为5个
不相等的偶数的积，确定出它们的值，进而获解。
解答：因为 为互不相同的正奇数，所以
为互不相等的偶数，而将 分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：
，所以
分别等于2、（-2）、4、6、（-6），所以
展开得：
，选A
例3 黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减去1，这样继续下去，最后得到2005、2007、2009，问原来的三个数能否是2、2、2？
点拨 本例解答的诀窍在于考察数字变化后的奇偶性（都是奇数），应用奇偶性解决问题。
解答： 答案是否定的。我们利用奇偶性来说明这一点，我们按照问题中说的方式首先把2、2、2变为2、2、3，其中两个偶数，一个奇数，以后无论改变多少次，总是两个偶数，
一个奇数（数值可以改变，但奇数性不变），但2005、2007、2009是三个奇数，所以按照所述方式2、2、2永远不会变为2005、2007、2009
赛点3：质数与合数
质数与合数有以下性质：
（1）不是质数，也不是合数，2是唯一的偶质数
（2）质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4；
（3）若质数 ，则有 或 。
例4 已知 均为质数，且满足
则以 为边长的三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰三角形
（2004年全国初中数学联赛题）
点拨 利用质数与合数，奇数与偶数的性质，先求
出 的值。
解答：由于 均为质数，且满足
则 中有个是偶数，因此
故
所以此三角形是直角三角形，选B。
例5 已知a、b、c都是大于3的质数，
（1）求证：存在正整数n>1，使所有满足题设的三个质数a、b、c的和a+b+c都能被n 整除；
（2）求上一问中的最大值。
（2005年（宇振杯）上海市初中数学竞赛）
点拨 （1）由a+b+c=3(a+2b)可取n=3;
(2)根据a、b被3除的余数只能是1或2讨论求解。
解答：（1）因为c=2a+5b,所以a+b+c=3a+6b=
3(a+2b).又a、b、c都是大于3的质数，所以
3|（a+b+c),即存在正整数n>1（例如n=3），使
n|(a+b+c).
(2)因为a、b、c都是大于3的质数，所以a、b、
C都不是3的倍数。
若 则c=2a+5b
这与c是质数矛盾。
同理， 也将导致矛盾。
故只能是 从而，
当a=7,b=13时， 为质数，
当a=7,b=19时，
为质数
故在所有 的n中，最大的为9
赛点4：最大公约数与最小公倍数
两个正整数a、b的最小公倍数记为 ，最大公约数记为 ，并且有
例6 已知两个正整数之和为104055，它们的最大公约数是6937，求这两个数。
解答 设这两个数为 依题意得
①
②
由②令 且 代入①得
由于 所以只有以下4种可能：
分别代入 的表达式，得
例7 在高速公路上，从3km处开始，每隔4km经过一个限速标志牌；并且从10km处开始，每隔9km经过一个速度监控仪。刚好在19km处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）
（2006年全国初中数学竞赛试题）
点拨 同时经过这两种设施的时间是分别经过这两种设施所需时间的最小公倍数。
解答：因为4和9的最小公倍数为36，19+36=55，
所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55km处。
故选C。
赛点5：数的整除特征
数的整除特征：
①末位数字是偶数的整数被2整除；
②末位数字是0或5的整数被5整除；
③最末两位数能被8（或125）整除的整数，能被8或125）整除；
④各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9）整除；
⑤一个自然数，若从其末位起奇数位数字之和与
偶数位数字之和的差被11整除，则它能被11整除。
例8 能被99整除且各位数字均不相同的最大自然数是______________。
点拨 被99整除即是既能被9整除又能被11整除，再由以知条件确定位数，找出最大值。
解答：易知所求数各位数字之和是9的倍数。
可考虑 此数是十位数且用完10个数字
按整数被11整除，可知此数的右起奇数位数字和P与偶数位数字和Q的差是11的倍数，因为
是奇数，所以 也是奇数，
或 或 或 33，又因为 0+1+2+3+4=10，
所以 因Q=28。易见符合前者的最大数是 9857261403，符合后者的最大数是9876524130，两者中又以9876524130最大。
赛点6：整除性质的运用
根据整除的定义，不难得出以下性质：
（1）若b|a,c|b,则c|a;
（2）若c|a,c|b,则c|(a+b);
（3）若c|a,c不能整除b,则c不能整除（a+b);
（4） 若b|a,则b|ac;
（5）若b|a,c≠0,则bc|ac,若bc|ac,则b|a;
（6）若b|a,c|d,则bc|ad;
（7）若a=b+c,且m|a,m|b,则m|c;
(8)若b|a,c|a,则[b,c]|a;若b|a,c|a,且（b,c）=1，则
bc|a;
(9)若c|ab,且（a,c)=1,则c|b;
(10)几个连续自然数之积必能被
整除。
例9 x和y均为整数，若5|x+9y,求证：5|8x+7y.
点拨 只需将8x+7y设法凑成x+9y的倍数式与5的倍数式的代数和即可获证。
解答： ∵5|x+9y, ∴5|2(x+9y)
而5|5(2x+5y),知5(2x+5y)-2(x+9y)=8x+7y,
∴5|8x+7y.
例10 已知正整数n大于30，且使得4n-1整除2002n
则n等于_________
(第十四届五羊杯竞赛题）
点拨 运用整除的性质，结合奇偶性分析，推出n的值。
解答：设 则
因4n-1是奇数，故4n-1整除n+250。
设 则
故4n-1整除1001。
因n>30且1001=7×11×13，经检查知只可能
4n-1=143,n=36,p=2符合条件。