1 整数运算技巧
运用定律与性质，巧妙选择合当的方法，运算会变得迅速、准确，且乐趣无穷；
添括号时，+号后边括号内的+ －号不变，添－时，括号内的+ －号变为
－ +，则好相反。
等差数列的和＝（首项+末项）×项数÷2
项数＝（末项－首项）÷公差+1
例1（1）296+41+104＝ （2） 375+81－175＝
(3) 199+1999+2=
分析（1） 由于296与104可以凑成整数，这样就可以化简了，
变成41与整数相加 ，加法的交换律
（2） 由于375与175相减是整数，相减后变成整数与81
相加，也是用了加减法的交换律
（3）据观察199与1999都相差1就可以凑成整数，因此可将2
分拆成1+1这样，运用加法交换律就可以都凑成整数了。

解（1）原式＝（296+104）+41＝400+41＝441
（2）原式＝（375－175）+81＝200+81＝281
（3）原式＝199+1+1999+1＝200+2000＝2200
例2 （1） 456－152－148＝ （2） 88－（47－12）＝
（3） 389+122－111＝
分析（1）152与148添加括号后，相加相好可以成为整数，这
样与456相减就简便了。
（2）去括号后，88与12相加可以成为整数 这样与47相
减就简单了 。
（3） 因398要凑成整数 ，需要11 而122－111的差刚
好是11，因而先将后两项相减，计算就变得简单了。
解（1） 原式＝456－（152+148）＝456－300＝156
(2) 原式＝88－47+12＝100－47＝53
（3） 原式＝389+（122－111）＝389+11＝400
1 整数运算技巧 （升中之五年级奥数2）
例3 （1） 125×11＝ （2） 125×88＝
（3） 1326÷13＝

分析 （1）因为11可分为10+1 这样与125的积就变为，两个
数的和，因而变得简单。方法二：因125乘8，积
为1000，剩下125与3的积也很是简单。
（2）因88可分解为 8×11 而8×125刚好为1000，因而
运算变得简单。
（3）被除数可拆分为1300+26 而这二个数都可被13整
除因则变得简单。

解（1）解法一 ：原式＝125×（10+1）＝1250+125＝1375
解法二：原式＝125×（8+3）＝1000+375＝1375
（2）原式＝125×8×11=1000×11=11000
(3) 原式＝（1300+26）÷13＝100+2＝102
例4 （1） 1+2+3+……+99+100＝
（2） （1+3+5+……+1999）－（2+4+6+……+1998）

分析：（1）通过观察，第一项+尾项 ；第二项+次末项；第
三项+倒数第三项；……。依次下去的和一样，这
样加法变成了乘法，因而变得简单。

解：（1）原式＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+
（50+51）＝101×50＝5050
解法二： 原式＝（首项+末项）×项数÷2＝
（1+100）×100÷2＝101×50＝5050
（2）原式＝1+（3－2）+（5－4）+（7－6）+……+（1999－
1998）＝1+1×999＝1000
2整数运算技巧 （升中之五年级奥数3）
例五 （1）756+100+98＝ （2） 18 ×98＝
（3）（22 ×7 ×12） ÷ 3＝
（4）197 × 52+197×47+197＝
分析（1）只要将98凑成整数，整个式子就简化了；也可以
将756凑成整数，即将98拆成 44+54就可以了。
（2）可将98看成是100－2 整个式就简化了。
（3）乘除为同级运算，可将除先化简，然后22 ×28就
可以了
（4）可将197的公因数提出来，式子就简公了。
解：（1）原式＝756+44+100+54＝900+54＝954
（2）原式＝18 ×（100－2）＝1800－36＝1764
（3）原式＝22 × 7×4＝22 ×28＝616
（4）原式＝197 ×（52+47+1）＝197 ×100＝19700
例六 （1）999+99+9+9999+99999＝
（2）1990－1985+1980－1975+ ……+20－15+10－5＝
（3）1999+999 ×999＝
分析（1） 加数各项都缺1就可以凑成整数，因此加5就可以
了简公了。
（2） 通过分析，每两项的差都为5，项数为1990缩小
10倍就是了。
（3）1999 可加上1凑整，而被乘数999可看成1000－1
这样与999相剩就大大的简化了。
解： （1）原式＝999+1+99+1+9+1+9999+1+99999+1－5＝
1000+100+10+10000+100000－5＝111110－5
＝111105
（2） 原式＝5 ×199＝5 ×(200-1)=1000-5=995
(3) 原式＝1999+1+（1000－1） ×999－1＝2000+999000
－999－1＝2000+999000－1000＝1000000
3 整数运算技巧 （升中之五年级奥数4）
例七 求下面数阵中所有数的和：
1,2,3,4,…99,100;
2,3,4,…100,101;
3,4,5,…101,102;
…
100,101,102,…198,199;

解：1+2+3+4+…+99+100=(1+100)*100/2=5050
2+3+4+5+…+100+101=(2+101)*100/2=5150
3+4+5+6+…+101+102=(3+102)*100/2=5250
……………
100+101+102+…+198+199=(100+199)*100/2=14950

所有数的和为
5050+5150+5250+……+9950=(5050+14950)*100/2
=20000*50=1000000
4 小数运算的巧算1 （升中之五年级奥数1）
在整数的运算中适用的定律、性质、公式、分解、组合、拼拆等方法，在小数的运算中同样适用。
例1 （1）10.1×76＝ （2）127.5－（16.73+27.5）＝
（3） 0.25×3.75+0.75×3.75= (4) 12.5×0.64×2.5=

分析：
（1）10.1可分拆为10+0.1 这样再与76相乘就简单多了。
（2）可去括号 则有 127.5－27.5 这则好是一个整数，运
算随之变为简化。
（3）前后两个工子都有公因式3.75，前后式提取后，运算
就可简化了。
（4）0.64可分拆为0.8×0.8，这 样0.8分别与12.5与2.5相乘
分别为10与2，因此运算将大大简化了。

解 ：
（1）原式＝（10+0.1）×76＝760+7.6＝767.6
（2）原式＝127.5－27.5－16.73＝100－16.73＝83.27
（3）原式＝3.75×（0.25+0.75）＝3.75
（4）原式＝12.5×0.8×2.5×0.8＝10×2＝20
5 小数运算的巧算1 （升中之五年级奥数2）
例2 （1）3.14×1.25+31.4×0.035+0.314×84＝
（2） 0.9999×1.3－0.1111×2.7＝
（3） 3.6×31.4+43.9×6.4＝

分析：
（1） 由于各式子都有3.14的倍数，通过放大缩小就可将
3.14提取出来，这样运算就大简化了。
（2）由于2.7可化为9×0.3，这样前后式都有了0.9999了，提
取公因式后运算就简化了。
（3） 43.9可分拆为31.4+12.5，这样再与6.4相乘，运算就大
为简公了。

解：
（1） 原式＝3.14×1.25+3.14×0.35+3.14×8.4
＝3.14× （1.25+0.35+8.4）＝3.14×10＝31.4
（2） 原式＝0.9999×1.3－0.1111×9×0.3
＝0.9999×（1.3－0.3）＝0.9999
（3） 原式＝3.6×31.4+（31.4+12.5）×6.4
＝31.4×（3.6+6.4）+12.5×8×0.8
＝314+80＝394
6 小数运算的巧算1 （升中之五年级奥数3）
例3 （1）3.46×13+13×6.54－12.5×1.09×8＝
（2） 2.67－0.3×0.5－0.85＝

解 ：
（1） 原式＝13×（3.46+6.54）－12.5×8×1.09
＝130－109＝21
（2） 原式＝2.67－（0.15+0.85）＝2.67－1＝1.67
例4 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+……+0.99＝

分析：前5项是一个等差数例，后边的也是一个等差数例，
关健是列数，可用公式
项数＝（末项－首项）÷公差+1 求出，整 个数列就
可求出来了。

解：
原式＝（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+……+0.99）
＝（0.1+0.9）×5÷2+（0.11+0.99）×〖（0.99－
0.11）÷0.02+1〗÷2
＝2.5+1.1×45÷2＝2.5+24.75＝27.25
7 小数运算的巧算2 （升中之五年级奥数4）
例5 （1） 0.9+（0.9－0.9）×0.9－0.9＝
（2） 2.37－1.75+1.63－2.25＝ （3） 2.6×0.25+7.4÷4＝
（4） 0.125×0.25×0.5×64＝
（5） 89.3×43+3.8×893+8.93×190＝
（6） 0.7777×0.7+0.1111×2.1＝

解：
（1） 原式＝0.9+0－0.9＝0
（2） 原式＝2.37+1.63－（1.75+2.25）＝4－4＝0
（3） 原式＝2.6×0.25+7.4×0.25＝0.25×10＝2.5
（4） 原式＝89.3×（43+38+19）＝89.3× 100＝8930
（5） 原式＝0.7777×0.7+0.1111×7×0.3
＝0.7777×（0.7+0.3）＝0.7777
8 复习计算的估算技巧（升中之五年级奥数1）
例1 7.7+7.97+7.997+……+7.9999999997的整数部分是多少？

分析：分析各项与8的差距为 0.3 ，0.03，0.003，……，
0.0000000003 因此共有10个8，然后减去
0.3+0.03+……+0.0000000003之和就可以了。

解：原式＝8－0.3+8－0.03+8－0.003+……+9－0.0000000003
＝8×10－0.3333333333＝79.6666666667
因此整数部分显然是79
例2 设A＝0.99×4+0.98×4+0.97×4+……+0.91×4，
求A的整数部分是多少？

解：原式＝（0.99+0.91）×9÷2×4＝34.2
因此整数部分是34
例3 求 50÷（0.40+0.41+0.42+……+0.49）商的整数部分

分析：除数是下个等差数列，用求和公式求出就可以了。

解：50÷〖（0.40+0.49）×10÷2〗＝50÷4.45＝11.2
整数部分为11
9 复习计算的估算技巧（升中之五年级奥数2）
例4 求5.5+5.65+5.665+5.6665+……+5.6666666665和的整数部
分

分析：整数部分与个们，十分位，百分位的和有关，而与千
分位以下的各位数无关

解：
原式＝5×10+（0.5+0.6×9）+（0.05+0.06×8）
＝50+5.9+0.53＝56.43 所以整数部分是56
例5 求 3221110987654321÷1234567891011120的商的整
数部分

分析：因为被除数与除数都是16位数，因此将前两位数相除
就可以了。
解：32÷12＝8÷3＝2.6 因此整数部分为2
10 循环与循环小数1（升中之五年级奥数1）
例1 7∧200的个位数是多少？（即7的200次方，也就是说
200个7相乘）

分析：如果计算结果再看个位数，那是要大量的运算，因此
可看运算的个位数是否有规律的出现，7*1＝7 7*7
＝49 7*7*7＝343 7*7*7*7＝2401 7*7*7*7*
＝16807 所以到第五个数又重复了了，因而循环节
为4 将次方数除4就可以了。

解：200÷4＝50 刚好被4整除，所以个位数为1
例2 a是大于0的整数，a×a的积的个位数字与a的个位数字
一样，如1×1＝1 5×5＝25 6×6 ＝36 这样 数a有
很多，如将它们从小到大排列，第20个这样的数是什
么数？

分析：
因为1至10（不能取0），就有1， 5，6这三个数，11
至20也是11，1 5，16这三个，所以只要将20除3就可
以了

解：20 ÷3＝6. ……2（余2），因此刚好是第7个循环的第二
个数，也就是65
关健是发现周期，及周期的循环节，然再运算
11 循环与循环小数1（升中之五年级奥数2）
例3 有一个数，第一个数15，第二个数是40，第三个数是
前二个数的和，如下：15 ，40 ， 55 ，9 5， 150， 245，
395. …… 在这个串数被3除，第201个除得的余数是什
么？

分析：
我们可以列个表，看下它们的是否有循环节，是多少就
可以知了

解：因此循环节是8，因为第九个就重复了，
201 ÷8＝25. ……1所以刚好第25次的重复后的第一项
余数为0
12 循环与循环小数2（升中之五年级奥数1）
例4
（1） 8 ∧8的个位数字是什么？
（2） 2002 ∧2002的个位数是多少？
（3）a在大于0的整数，a的三次方的个位数字与a个位数一
样，这样的数有很多，如果将它们从小到大排，第30
个这样的数是多少？

解 （1）8 ∧1＝8 8 ∧2＝64 8 ∧3＝512 8 ∧4＝4096
8 ∧5＝32768 因此循环节为4 因而8 ÷4＝2
因此个数为6
（2） 2002 ∧2002个位数与2 ∧2002计算结果尾数一样的，
2002 ∧1尾数为2 2002 ∧2尾数为4 2002三次方尾
数为8 四次方为尾数6，五次方尾数为2，因此循环
节为4，2002 ÷4＝500. ……2 因此第501次循环的 第
二次，因而尾数为4
（3） 1 ∧3＝1 2 ∧3＝8 3 ∧3＝27 4 ∧3＝64
5 ∧3＝125 6 ∧3＝216 7 ∧3＝343 8 ∧3＝512
9 ∧3＝729 10 ∧3＝1000
因此1至10合付条件的有1， 4， 5 ， 6, 9, 10 六个数，
即循环节为5，30 ÷6＝5 即第五个循 环最后一次，即50
13 循环与循环小数2（升中之五年级奥数1）
例5
（1） 3 ÷7商小数后面第118个数字是多少？
（2） 36 ÷37商小数后面100个数字和是多少？
（3） 阳历1993年元旦是星期五，那么阳历2000年元旦是星
期几？

解：
（1） 3 ÷7＝0.428571428571. ……。因而可知周期是6，
因此118 ÷6＝19. ……余4 即数字为5

（2） 36 ÷37＝0.972972. …… 周期为3，数字为9 , 7 ,
2 , 因而100 ÷3＝33……1 即个位数为9 每一周期
和为＝9+7+2＝18 100个数字和为 18 ×33+9＝
594+9＝603

（3）1993年元旦，即1993年1月1日至2000年1月1日，共七
年，只有1996年是闰年，其余各年为平年，共有天数
为（365 ×6+366） ÷7＝365. ……1 因此元旦那天是
星期五的后一天，即星期六。
14 循环与循环小数2（升中之五年级奥数2）
例六 试一试
（1） 5 ÷7的商小数点后面第2000位上的数字是什么？
（2） 35 ÷11的商小数点后2000个数字和是多少？
（3）2000年元旦是星期六，2007年元旦是星期几？

解 （1）5÷7＝0.7142857142.…… 周期是6，2000÷6＝
333. ……2 所以2000位上的数字是1

（2）35÷11＝3.1818. ……周期是2，数字为1和8，即一个周
期的和为1+8＝9 2000÷2＝1000 1000×9＝9000

（3） 2000年元旦至2007年元旦，其7年，其中2000、2004
是闰年，其余5年是平年，所以共有天数为
365×5+366×2＝365×7+2，又因为一星期的周期为7，
所以（365×7+2）÷7＝365. ……2，所以2007年元旦
为星期六的后两天，即星期一。
15 循环与循环小数3（升中之五年级奥数3）
例七 ：（1）按下表排列规律，1999排在第几行第几列？

（2） 555.……5 除以13的余数是几？

2000个5

（3）2∧103 被7除余几？
（4） 把16/37写成循环小数后，小数点后500个数字和是多
少？
解 （1） 1999÷4＝499. ……3 因499为奇数行，数字为顺数
的，余3，即为500行 右往左数3个数，也就是第二列。
（2） 555. ……5÷13＝427350427350. ……周期为6 即
1999÷6＝333……1，（第2个5开始与商对应）也就是
商为4，余数为3
（3）从中可以看出，随着次数的增加，除7的余数是以2，4，
1做循环周期的，即周期为3 因此 103÷3＝34. ……1
也就是说刚好是第35个周期的第一个余数，即是2

（4）16/37=0.432432. ……周期为3，数字和为 4+3+2＝9
共有周期数 500÷3＝166.……2 也就是说循环到167周
期的4，3两个数，因而和为166×9+4+3＝1501
16 可能性（加法原理和乘法原理1）
例1 ： 6分同样的礼物，全部分给4个同学，使每个同学至少获得一份礼物，共有多少种分法？

解：分成3+1+1+1 这样的分法有四种可能，即3+1+1+1；