第二十讲 最值问题
知识点梳理
一、积最大的规律
（一）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相
等时，它们的积最大。用字母表示，就是：
如果a1+a2+…+an=b（b为一常数），
那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。
由“积最大规律”，可以推出以下的结论：
结论（1）： 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n
边形）的面积为最大。
结论（2 ）：在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为
最大。
（二）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然
数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大，而且不要出现1。
例如：当和是14时
（1） 14=2+2+2+2+2+2+2
2×2×2×2×2×2×2=128
（2）14=3+3+3+5
3×3×3×5=135
（3）14=3+3+3+3+2
3×3×3×3×2=162
（4）14=5+5+2+2
5×5×2×2=100
二、和最小的规律
几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达就是：如果a1×a2×…×an=c（c为常数），
那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an，有最小值。
例如：面积为64的长方形和正方形
8×8=64 32×2=64 16×4=64
推论： 由“和最小规律”可以推出，在所有面积相等的封闭图形中，以圆
的周长为最小。
典型例题精讲
例1. 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、
乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级
决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民
警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙
丁相距4000米，那么至少要增加______位民警
解 析
现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2. 如图所示，在一个正方体表面上，三
只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，
它们爬行的速度相等。若要求它们同
时出发会面，那么，应选择哪点会
面最省时？
(小学数学奥林匹克预赛试题）
解 析
我们可将正方体表面展开，如图，则A、B、C三点在同一平面上。这
样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离
相等且最短。 所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连
接OB，不难得出AO=OC=OB。
故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
例3. 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？
解 析
三个图的面积分别是：

三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。
　　故图（3）的面积最大。
例4. 某商店有一天，估计将进货
单价为90元的某商品100元
售出后，能卖出500个。已
知这种商品每个涨价1元，其
销售量就减少10个。为了使
这一天能赚得更多利润，售
价应定为每个______元。
解 析
卖价110时，利润为110-90=20元，售出500-10×10=400个，盈利20×400=8000元；
卖价120时，利润为120-90=30元，售出500-20×10=300个，盈利30×300=9000元；
卖价130时，利润为130-90=40元，售出500-30×10=200个，盈利40×200=8000元；
卖价150时，利润为150-90=60元，售出500-50×10=0，可以盈利60×0=0；
综上所述得，当售价为120时，获得最大利润9000元。
例5. 有10个人各拿一只水桶，同时到
一个水龙头下接水。水龙头注满
第一、第二、……九、十个人的
桶，分别需要1、2、3、……、9、
10分钟。问：如何安排这10个人
的排队顺序，可使每个人所费时
间的总和尽可能少？这个总费时
至少是多少分钟？
解 析
第一个人接水时，包括他本人在内，共有10个人等候，第二个人接水时，有9个人
等候；第三个人接水时有8个人等候… 第10个人接水时，只有他1个人等候。可见，
等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少。因此，
应当把接水时间按从少到多顺序 排列等候接水。 每人水桶注满时间从少到多排序：1分，2分，3分，4分，5分，6分，7分，8分，9分，10分。
　　 1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1
=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2
=220（分）
例6. 自行车的前轮胎行驶9000千米
后报废，后轮胎行驶7000千米
后报废，前后轮胎可在适当时候
交换位置，一辆自行车同时换上
一对新轮胎，最多可行驶多少千
米？
解 析
例7.8个互不相等的非零自然数的和为56，如果去掉最大的数和最小的数，那么剩下的数的和为44。问剩下的数中，最小的数是多少？
解 析
8个不相同的非零自然数之和为56，平均数是56÷8=7， 2个数和为14。
去掉最大数和最小数的和44，大数和小数之和是 56-44=12 ，所有自然数在
1-12之间,即可能是:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
以上11个数中，8个数加起来和为56,并且和为12，小数和大数{只能是1 和11}，
44÷6=7……2 ,就是说其它的6个数平均为7点多,
2个数和为14的有：10和4， 9和5， 8和6 ，它们的和是42，比44少2 ， 把5
换7 即可，这8个数是：1 4 6 7 8 9 10 11。
例8. A、B两人在沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，问：其中一人最远可深入沙漠多少千米后返回出发地？
解 析
24÷3=8（天)
24+8=32(天） 32÷2=16（天）
16×20=320（千米）
两人共同走8天后，一人将8天的水和食物给
另一人并携带8天的水和食物返回。则另一
人共用24+8=32天的水和食物去探险。最远
走16天后返回 ，所以最远可以深入沙漠320千米。
课后作业
一种货物有六个货站，4辆汽车先后经过这6个货
站进行循环运输，每个货站所需装卸工人数如图所
示，分别有4人、6人、4人、8人、5人、3人。为
节省人力，装卸工可随车到各货站，有些工人固定
在各站，有些随车流动，怎样安排使工人总数最少？
最少多少人？
祝你学习愉快！