方程的解法
对应法(消去法)
【知识要点】
“对应”是解决数学问题时常用的一种方法，有很多应用题，给定的量所对应的数量关系是在变化的，为了使变化的数量看得更清楚些，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到解题方法，这种解题的思维方法叫对应法。
○＋○=△，△＋△＋△=□， 则□=（ ）个○。
像这样的应用题，有两个或两个以上的未知量，解题时通过一定的方法，消去一个未知量，只保留一个未知量，叫做消去问题。
分析消去问题时可以先整理条件，比较出两个未知量的联系和区别，再解答。
1．把两个未知量中其中一个未知量转化成相等的量。
2．用消元的方法消去一个量。
3．先求出保留的未知量，再求出消去的未知量。

所以原方程组的解是
解：将②代入① ，得3（y+3）+2y=14
3y+9+2y=14
　　　5y=5
　　　 y=1
将y=1代入②，得 x=4
解：由② ，得 x=13 - 4y ③
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16
26 –8y +3y =16
-5y= -10
y=2
同学们：你从上面的学习中体会到解方程组的基本思路是什么吗？主要步骤有那些吗？
主要步骤：
4.写解
3.解
2.代
1.变
基本思路:
随堂练习：
你解对了吗？

实验中学共有2576名学生，其中男生比女生多76名。问学校内有男、女学生各多少名？
用一元一次方程解

解：设女生有X名，则男生为（X+76）名。
X+（X+76）=2576
2X+76 =2576
2X =2576 – 76
2X=2500
X=1250（名）
X+76=1250+76=1326（名）
经检验符合题意。
答：学校内有男学生1325名，女学生1250名。
用二元一次方程组解

男+女=2576
两个等量关系
男 - 女=76
解：设男生有X名，女生有Y名。
X+Y=2576
X –Y=76
解得：X=1326
Y=1250
一、创设情境
经检验符合题意。
答：学校内有男学生1325名，
女学生1250名。
小芳在玩具厂上班,做3只小狗、5只小猫用3小时30分;做4只小狗、7只小猫用4小时50分,求平均做1只小狗与1只小猫各用多少时间?
次数
3X
4X
5Y
7Y
3小时30分
二、探求新知
4小时50分
两个等量关系：

做3只小狗的时间+做5只小猫的时间=3小时30分
做4只小狗的时间+做7只小猫的时间=4小时50分
二元一次方程组解应用题的步骤：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
家具厂生产一种餐桌，1m3木材可做5张桌面或30条桌腿。现在有25m3木材，应怎样分配木材，才能使生产出来的桌面和桌腿恰好配套（一张桌面配4张桌腿）？共可生产多少张餐桌？
解：设用xm3木材生产桌面，用ym3木材生产桌腿，根据题意得 x+y=25
5x×4=30y
1.行程问题:
1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程
(环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长
2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路程
(环形跑道): 快者的路程-慢者的路程=一圈长
3.顺逆问题:顺速=静速+水(风)速
逆速=静速-水(风)速
1.小强和小明做算术题, 小强将第一个加数的后面多写一个零, 所得和是2342; 小明将第一个加数的后面少写一个零, 所得和是65.求原来的两个加数分别是多少?
2.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75千米的速度行驶,就会提前24分钟 到达乙地,求甲、乙两地间的距离.
、
解：设甲、乙两地间的距离为S千米，规定时间为t小时,根据题意得方程组
甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分钟各跑多少圈?
解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据题意得方程组
解得
5、小明骑摩托车在公路上匀速行驶，12:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13:00时看里程碑上的两位数与12:00时看到的个位数和十位数颠倒了；14:00时看到里程碑上的数比12:00时看到的两位数中间多了个零，小明在12:00时看到里程碑上的数字是多少？
解:设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位的数字是y，那么
答:小明在12:00时看到的数字是16.
某学校现有甲种材料3５㎏,乙种材料29㎏,制作A.B两种型号的工艺品,用料情况如下表:
(1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件?
(2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱?
2.图表问题
国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？
3.总量不变问题
解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据
题意得方程组
解这个方程组，得
答：订单要220辆汽车，规定日期是6天
入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？
3.总量不变问题
解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据题意得方程组
解这个方程组，得
答：订单要220辆汽车，
规定日期是6天
4.销售问题:
标价×折扣=售价
售价-进价=利润

利润率=
已知甲.乙两种商品的标价和为100元,因市场变化,甲商品打9折,乙商品提价5﹪,调价后,甲.乙两种商品的售价和比标价和提高了2﹪,求甲.乙两种商品的标价各是多少?
答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的标价是80元.
解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元，
根据题意，得
解这个方程组，得
5、配套问题
例：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2、5元的纸币各多少张？
解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、
y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、
y张、z张，根据题意可以得到下列三个
方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
活动1
知识点梳理
1、列方程解应用题的方法
（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
2、列方程解应用题的步骤：
（1）审题：弄清题意．找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．
（2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，
（3）列出方程 ：然后利用已找出的等量关系列出方程．
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，
（6）答案：检验后写出答案．
一、根据数量关系找相等关系。
好多应用题都有体现数量关系的语句,即“…比…多…”、“ …比…少…”、“…是…的几倍”、“ …和…共…”等字眼，解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定相等关系。
例1：某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

相等关系：女生人数－男生人数＝80
例2合唱队有80人，合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人，则舞蹈队有多少人？

相等关系：舞蹈队的人数×3＋15＝合唱队的人数
例3 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
审 题：相等关系：调动后甲处人数＝调动后乙处人数×2
设未知数：解：设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：
列 方 程 ： 27+x=2(19+20-x)，
解 方 程： 解得 x＝17
检 查：
所以 20-x＝20－17＝3（人）
作 答 ：答：应调往甲处17人，乙处3人。
二、根据熟悉的公式找相等关系
单价×数量＝总价， 单产量×数量＝总产量， 路程＝速度×时间，
工作总量＝工作效率×工作时间，
售价＝基本价×打折的百分数，
利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率，
几何形体周长、面积和体积公式，
都是解答相关方程应用题的工具。
例1：一件商品按成本价提高100元后标价，再打8折销售，售价为240元。求这件商品的成本价为多少元？

相等关系：（成本价＋100）×80%=售价

例2：用一根长20cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

相等关系：正方形的周长＝边长×4

例3：一个梯形的下底比上底多2厘米，高是5厘米，面积是40c平方厘米，求上底。

相等关系：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
例4：商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率为5%的售价打折出售，则此商品应打几折出售？

相等关系：售价－进价＝进价×利润率

解：设最低可打x折。据题意有：

2250x-1800=1800×5%

解得 x＝0.84


答：此商品应打8.4折。
审题
设未知数
列方程
解方程
检查
作答
三、根据总量等于各分量的和找相等关系
即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。
例1：甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔个买了多少支？
相等关系：
买甲种铅笔花的钱＋买乙种铅笔花的钱＝总共花的钱

例2：把1400元奖学金按照两种奖项发给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少？
相等关系：
发一等奖学金用的钱＋发二等奖学金用的钱＝总共的钱
例3：希腊数学家丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大和死神见面？”
相等关系：总年龄＝各部分年龄的和
解：设丢番图活了x年。据题意可得：
x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4
解得 x＝84
答：丢番图共活了84岁。
四、用不同方法表示不变量找相等关系
这类题目的解题原理是：如果一个不变的量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。这就要求我们找到这个量，可以根据题中的“比值一定”、“积一定”、“速度一定”等相关语句来找。

例1：汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。王家庄到翠湖的路程有多远？
相等关系：王家长到秀水路段的速度＝青山到秀水路段的行车速度

例2：种一批树苗，如果每人种10棵，则剩6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，有多少人种树？

例3：把一些糖果分给某班学生，如果每人分3个，则剩余20个，如果没人分4个，则还缺25个。这个班共有多少学生？
五、根据事情发展的顺序找相等关系
有些题目的相等关系需要根据事情发展顺序才可以找到相等关系。
比如：原有的－用去的=还剩的，
又如：付出的－用去的=还剩的，原有的＋运来的=现在的。
例1：一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
相等关系：已使用时间＋预计使用时间＝规定检修时间
例2：今年我国城镇居民平均可支配收入为5109元，比去年增长8.3%，去年这项收入为多少？
相等关系：
去年这项收入＋增加的收入＝今年这项收入
例3：一辆汽车已行驶了12000km，计划每月在行驶800km，几个月后这辆汽车将行使20800km？
相等关系：已行驶路程＋预计行驶路程＝20800
未知数的设法
一、有比较关系时，如甲比乙多8，我们一般设较小的为x，这样计算时主要用的是加法不易出错；
二、有倍数关系时，如数学小组人数是英语小组的5倍，我们设一倍量为x，用乘法表示其余量利于计算；
三、在分数应用题中，我们设单位“1”为x；
四、在有比的问题中，我们设一份数为x；
五、在有和的问题中，我们设其中任意一个为x都可以，比如说两个班共有50人，设其中一个班有x人。
典型例题精讲
（ 生活中问题）
例1. 有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。
解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。根据题意列方程得：56-2X=3(36-2X)
X=13
答：13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。
趣味数学
例2. 同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？
解:设这名同学给X个同学领碗.根据题意列方程得：



X=30
答：这名同学给30个同学领碗。
鸡兔同笼问题
例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？
方法一： 鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，就求出鸡的只数了。
解： （110+10×4）÷（4+2）=25（只）……鸡
　　　　　　 25-10=15（只） ……兔
答：鸡有25只，兔有15只。
方法二：用方程做
解设：有X只兔，有鸡（X+10）只。根据题意列方程得：
4X+ 2(X+10)=110
X=15 15+10=25(只)
答：鸡有25只，兔有15只。
行程问题
例4.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时相遇，甲车再开3小时到达B城。已知甲车每小时比乙车每小时快20千米。A、B两地相距多少千米？
解设：乙的速度每小时行驶X千米，甲的速度是（X+20)千米。列方程得：
4 X= 3（X+20) （60+20）×（4+3）=560千米
X=60
答：AB两地相距560千米。
工程问题
例5.一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的五分之四，乙只能完成原来的十分之九。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？
解析
甲的工作效率=1÷10= ，合做后的工效=
乙的工作效率=1÷15= ，合做后的工效=
效率和=
解设：合做X天，甲单独做（8-X）天。


答：两个人合做要用5天。
例6. 设有六位数1abcde,乘3后，变为abcde1,求这个六位数。
数论问题
解设：abcde五位数为X。列方程得：
3（100000+X）=10X+1
X=42857
答：这个六位数是142857。
平面几何
例7.如右图，以直角三角形ABC的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是37.68厘米，那么三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？（π取3.14）
解设：直角边长为X和Y,则弧长为：πX÷2+πY÷2=37.68
π（X+Y）÷2=37.68
X+Y=24（厘米）当X=Y时乘积最大 即X=Y=12（厘米）
三角形面积=12×12÷2=72（平方厘米）
答：三角形面积是72平方厘米。
课后作业
黄金放水里重量减轻十九分之一，银减轻十分之一，一块金和一块银，重770克，放水里减少50克，原来的金重多少克？
祝你学习愉快！