六年级奥数之工程问题
六年级上册奥数知识点
第一讲工程问题
第二讲比和比例
第三讲分数、百分数应用题1
第四讲分数、百分数应用题2
第五讲长方体和正方体
第六讲立体图形的计算
第七讲旋转体的计算
第八讲应用同余解题
第九讲二进制小数
第十讲棋盘中的数学1
第十一讲棋盘中的数学2
第十二讲棋盘中的数学3
第十三讲棋盘中的数学4
第十四讲典型试题分析
一.基本公式
工程问题是应用题中的一种类型。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量（即工量）、工作时间（完成工作总量所需时间 即工时）和工作效率（单位时间内完成的工作量 即工效）：
①工作效率×工作时间=工作总量　　
②工作总量÷工作时间=工作效率
③工作总量÷工作效率=工作时间
下面请同学来回答以上3个量之间的正反比关系~~~
二.基本思路
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；　　②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
而把工量看做单位1时，工效即用工时的倒数来表示。
　　关键问题：不管题型如何，都要学会确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
三.例题讲解
例1.一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
分析：①设这项工程为1个单位，将所有题设条件转化为数学语言：
甲乙合作工效1/12，乙丙合作工效1/15，甲丙合作工效1/20
②观察设问：如何求得甲乙丙三队合作的工时 ？
工作时间=工作总量÷工作效率
如今由①知工作总量为1，欲求工时，需知工效.
下面问题的关键点出现：
如何求出工效？？？？？
经简单计算可知，不能由题设条件推导出甲乙丙三队合作的工效和…..
再次读题可发现，甲乙丙在相关工效条件中均出现两次，则可得出：
甲乙丙三队合作的工效和的2倍：1/12＋1/15＋1/20
易得：甲乙丙三队合作的工效和：(1/12＋1/15＋1/20）÷2
接下来由基本公式求解
1÷[（1/12＋1/15＋1/20）÷2]＝10(天)
③答：如果由甲乙丙三队合作需10天完成。
例1.一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
习题1.一件工作，甲5小时完成了1/4，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲乙合作，还需要多少时间才能完成？
思路：1.假设工作总量为“1”
2.联系基本公式，层层剥离，找出问题关键点：
亲，不要偷工减料哦~~
甲工效1/4÷5＝1/20 乙工效（1-1/4）×1/2÷6＝1/16
分析：①设这项工程为1个单位，将所有题设条件转化为数学语言：
工作时间=工作总量÷工作效率
②观察设问：如何求得甲乙合作完成余下部分工作所需的工时 ？
即有： “工作总量”1-1/4-（1-1/4）÷2=3/8
甲乙总工效1/20＋1/16=9/80
下面分解第②问，则知需求出“工作总量”和工作效率：
“工作总量”不再是单位1，而是题设问题中“余下部分工作”总量：
同时，工效也不再单纯是甲乙各自的工效，而是甲乙合作的工效和。
自然地，所求工时3/8÷9/80=10/3（小时）
③答：甲乙合作完成余下部分工作需10/3小时.
习题1.一件工作，甲5小时完成了1/4，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲乙合作，还需要多少时间才能完成？
思路：甲、乙各自的工效→求得工效差→即为3个零件在整批零件中所占比例 →利用部分与整体的比例关系求得整批零件个数
例2.加工一批零件，甲乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成。已知甲每天比乙多加工3个。求这批零件有多少个？
①甲乙合作12天，完成了总工程的几分之几？
1/24×12=1/2
②（甲工效）甲一天能完成全工程的几分之几？
（3/5-1/2）÷（16-12）=1/40
③（乙工效）乙一天能完成全工程的几分之几？
1/24-1/40=1/60
④这批零件共多少个？
3÷（1/40-1/60）=360(个)
⑤答：这批零件共360个。
例2.加工一批零件，甲乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成。已知甲每天比乙多加工3个。求这批零件有多少个？
分析：由于题设条件比较复杂，现采用“排除法”对工量、工时、工效进行筛选以寻找解题突破口：
1.首先，因设问即要求求出工量，且部分工量2/5“孤立无援”，排除从工量下手的可能。
2.其次，因题中大量出现工时数据，故尝试从工时切入：
工量=工时×工效 而正因工时数据繁杂，若从工时切入则需要找出诸多与每一工时相对应的工效，计算受阻，故排除从工时下手的可能；
A.甲做16天和乙又做12天完成工程的3/5，可转化为甲乙合作12天后，乙接着做4天共完成工程的3/5；
B.又知道甲乙二人合作24天可以完成,因此甲单独做所用天数可以求出，则乙单独做所用天数迎刃而解。(即求得工时)
C.工效可用工时的倒数表示，则可由B步骤得出甲乙各自工效。
3.经排除，只能以工效为突破口进行解题。
习题2.师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？
思路：1.假设工作总量为“1”
2.联系基本公式，层层剥离，找出问题关键点：
要求：参照例2，写出大概思路，不作具体标准要求。
提示：解题思维和例2有点类似(⊙o⊙)哦~~~
2.要求每人单独做各需几天，摆明了是求工时
则有相关公式：工时=工量÷工效
又已知该批零件总量为单位1 →问题转化为求师徒二人各自的工效
分析： 1.题设条件:师徒工效和1/6
习题2.师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10。如果每人单独做这批零件各需几天？
3.关键：师傅先做5天接着徒弟做3天 转化为 师徒合作3天接着师傅再做2天
师傅工效 (7/10-1/6×3)÷2=1/10 徒弟工效 1/6-1/10=1/15
由公式得 师傅单独做需10天 徒弟单独做需15天
答： 师傅单独做需10天； 徒弟单独做需15天。
四、课后习题
1.一项工作，甲单独做20天可完成，乙单独做30天可完成。
现在两人合做，用16天就完成了工作。 已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．问：乙休息了多少天？
2. 甲乙两人共同加工一批零件，8小时可完成任务。若甲单独加工需12小时。现甲乙共同加工12/5小时后，甲撤出，由乙继续生产420个零件后才完成任务。问：乙一共加工零件多少个？
五、习题答案
解:1.假设总工作量为“1”，故由题可得
甲工效：1/20 乙工效为：1/30
1.一项工作，甲单独做20天可完成，乙单独做30天可完成。
现在两人合做，用16天就完成了工作。 已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．问：乙休息了多少天？
2.甲所完成的工量占总工量：（16-2）÷20=7/10 ；
3.乙工时：3/10÷1/30=9　　
故乙休息的天数为16-9=7天
答：乙休息了7天。
乙所完成的工量占总工量：1-7/10=3/10
2. 甲乙两人共同加工一批零件，8小时可完成任务。若甲单独加工需12小时。现甲乙共同加工12/5小时后，甲撤出，由乙继续生产420个零件后才完成任务。问：乙一共加工零件多少个？
解：乙单独加工，每小时加工1/8-1/12=1/24
甲撤出后，剩下工作乙需做[1-（12/5）×（1/8）]÷（1/24）=84/5
所以乙每小时加工零件420÷（84/5）=25（个）
即乙12/5小时加工(12/5)×25=60（个）
则乙一共加工420+60=480（个）
简单提问：利用什么公式？
工时×工效=工量
请问：该式使用了什么公式？
工量÷工效=工时
答：乙一共加工零件480个。