第1讲 定义新运算
知识要点

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：

1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算符号。
3△(4△6)
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
练习2：

1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。

3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
7*4=7+77+777+7777=8638

210*2=210+210210=210420
【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。
练习3：

1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444， 那么（6*3）÷（2*6）=________。
A =（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦
=（1/⑥－1/⑦）×⑦
= ⑦/⑥－1
=（6×7×8）/（5×6×7）－1
= 1又3/5－1
= 3/5
【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，

⑤=4×5×6，…… 如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，那么，A是几？
【思路导航】这题的新运算被定义为： @ = （a－1）×a×（a＋1），
据此，可以求出 :
1/⑥－1/⑦ =1/（5×6×7）－1/（6×7×8），
这里的分母都比较大，不易直接求出结果。
根据1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，
可得出:
A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。
练习4：

1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么A=________。
2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。
3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。
4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16
x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16
＝12x－32
12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.5
【例题5】设a⊙b=4a－2b+1/2ab,求z⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。
【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，

再根据x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16 = 12x－32，

然后解方程12x－32 = 34，

求出x的值。
练习5：
1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。

2．对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b=
，求6△4+9△8。

3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝
（其中m是一个确定的整数）。如果1*2＝1，那么3*12＝________。
本节结束