第一单元 数的整除特征
熟记整除的性质，以及能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的数的特征，能应用性质和特征解决简单的数字问题及生活中的问题
（一）整除——约数、倍数
像15÷3＝5，63÷7＝9这样，
一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好等于c且没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），记作：b︱a，
否则，称a不能被b整除（或b不能整除a），记作：b a
（二） 数的整除性质
1、看下面的两个例子：
⑴ 我们知道 2︱10 ， 2︱6 ，2能整除10与6的和或者差吗
能 。 2︱（10＋6）且 2︱（10－6）
⑵ 我们再看 5︱25 ， 5︱10 ，5能整除25与10的和或差吗？
能 。 5︱（25＋10）， 5︱（25－10）
你能从上面的题目中得到上面规律？
数的整除性质1
性质1：
如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。
即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b）
你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
2、我们再来看一组例子：
① 15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除45吗？
② 3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84吗？
③ 5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除135吗？
上面的3个例子有什么共同点？
如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个数整除吗？
数的整除性质
性质2：
如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。
即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a
反过来，如果b︱a ， c︱a 那么bc︱a一定正确吗？
数的整除性质3
3、我们看下面的例子：
① 4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？
② 4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？
③ 5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？
这说明这两个数需要满足一定的条件！
不能
能
能
数的整除性质3
性质3：
如果b、c都能整除a，且b和c ，那么b、c的积能整除a 。
即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1，那么 bc︱a。
例如 8︱324685008 ， 9︱324685008 且（8，9）＝1，
那么 ︱324685008。
互质
72
数的整除性质4
4、我们最后再看一个问题：
如果c能整除b，b能整除a，那么c一定能整除a吗？
自己出几个题目试试？
7能整除14，14能整除140，那么，7能整除140吗？
9能整除18，18能整除54，那么，9能整除54吗？
能
能
数的整除性质4
性质4：
如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
我们来总结一下
性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b）
性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a
性质3： 如果b、c都能整除a，且b和c 互质，那么b、c的积能整除a 。 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1，那么 bc︱a。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
（三）数的整除特征
（一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征；
（二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整除；
②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除；
③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除；
④能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的数的差（大减小）能被7、11、13整除。
应用举例（一）判断一个数能不能被整除
例1、
①判断35112能不能被7、11、13整除
②33333333468375能不能被125整除
③1234567891011121314能不能被3和9整除
①判断35112能不能被7、11、13整除
回忆：能被7、11、13整除的数的特征：
末三位数字与前面的数字的差（大减小）能被7、11、13整除。
解： 112－35＝77
因为 7 77 ， 11 77， 13 77
答：35112能被7和11整除，但不能被13整除。
∣
∣
②33333333468375能不能被125整除
回忆：能被125整除的数的特征：
末三位数字能被125整除。
解： 因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。
③1234567891011121314能不能被3和9整除。
回忆：能被3（或9）整除的数的特征：
各个数位数字的和能被3（或9）整除。
解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60
因为 3 60 9 60
所以这个数能被3整除而不能被9整除。
答：这个数能被3整除而不能被9整除。
∣
应用举例（二）根据规律填空
例2、⑴ 已知45︱ 求所有满足条件的六位数。
解：因为45＝5×9，根据整除的性质②，
可知5︱ ，9︱
所以 y可以是0或者5 ，
当y＝0时，根据9︱ 及数的整除特征可知x＝ ；
当y＝5时，根据 9︱ 及数的整除特征可知x＝
答：满足条件的六位数是 或 。
5
9
519930
919935
（2）李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问：每支钢笔多少元？
分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。
9□.2□元＝9□2□分
解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，
可知4︱9□2□ 且7︱9□2□
∴ 根据4的整除特征可知□可以填0、4、8 ，
∵ 7 9020， 7 9424；7 9828。
∴ □处应当填 。
÷28＝ （分）＝ （元）
答：每支钢笔的价格是 元。
∣
8
9828
351
3.51
3.51
思路回眸
要判断一个数能否被一个合数整除，或者要确定一个能被合数整除的数，可以根据性质②，把合数拆成两个互质数相乘，再根据整除的特征确定所求的数。
今日小结
1、数的整除的有关概念；
2、数的整除性质；
3、数的整除特征；
4、典型例题：
㈠判断一个数能否被另一个数整除；
㈡根据整除的性质和整除的特征求符合条件的数。
今日作业