等差数列
【例题1】在数列7、10、13、16、…中，第907个数是多少？907是第几个数？
【思路导航】步骤一：这个等差数列的首项是7，公差是10-7=3。
步骤二：第907个数比首项多了906个公差。
所以，第907个数是7+（907-1）×3=2725
步骤三：看907比首项7多了多少个公差。
（907-7）÷3+1=301
【技巧总结】
通项公式：第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、27、…
(1)它的第30项是多少？
(2)622是它的第几项？
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差
第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209
=6+（30-1）×7=6+30×7-1×7=216-7=209
(2)项数=（末项-首项）÷公差+1
=（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89
【例题2】一个等差数列的第4项为21，第6项为33。求它的第8项。
【思路导航】
步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。
步骤二：公差=（33-21）÷2=6，首项=21-3×6=45
步骤三：第8项=3+（8-1）×6=45。
【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差，是解此类等差数列问题的一种方法。
练习2：
一个等差数列的首项是12，第6项是27。求公差。
解：第6项比首项多5个公差。
公差=（27-12）÷5=15÷5=3
【巩固训练1】有一列数1、5、9、13、17、21、…
（1）它的第100个数是多少？
（2）493是它的第几项？
解：（1）第n项=首项+（项数n-1）×公差
第100项=1+（100-1）×（5-1）
=1+（100-1）×4
=1+100×4-1×4
=1+400-4=397
（2）项数=（末项-首项）÷公差+1
=（493-1）÷4+1=492÷4+1=123+1=124
【巩固训练2】一个等差数列的第7项是39，第10项是79。它的第13项是多少？
【思路导航】第7项、第10项、第13项分别都相差三项，可以把这三项看成一个首项为39，公差为40的等差数列。这样第7项、第10项、第13项分别为首项、第二项、末项。
第n项=首项+（项数n-1）×公差
第13项=39+（3-1）×（79-39）=39+2×40=119

【拓展提高1】一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落脚点，那么它的第100个落脚点正好是树梢。这棵树高多少厘米？
（提示：设法将题意变成一个等差数列）
解：首项=10厘米，公差=4厘米，项数n=100
第n项=首项+（项数n-1）×公差
树高=第100项=10+（100-1）×4
=10+100×4-1×4=406（厘米）
答：这棵树高46厘米。
【拓展提高2】在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。这10个数中，最小是几？最大是几？
解：这是一个项数为12的等差数列，
首项=124，末项=第12项=245，
公差=（第12项-首项）÷（12-1）
=（245-124）÷（12-1）=121÷11=11
所求最小数=第2项=124+（2-1）×11=135
所求最大数=第11项
=124+（11-1）×11=124+10×11=234
小结
1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。
2.数列中数的个数称为项数。
3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
4.例如：1、3、5、7、9、…、97、99，这是一个首项为1、末项为99、项数为50、公差为3的等差数列。