数数图形
二
第18周
知识要点
在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
【例题1】
数一数下图中有多少个长方形？
图中的AB边上有线段1+2+3=6条
把AB边上的每一条线段作为长
AD边上的每一条线段作为宽
每一个长配一个宽，就组成一个长方形，
所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：
长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
练习1：
数一数，下面各图中分别有几个长方形？
【例题2】
数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，
边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，
边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。

分析发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习2：
数一数下列各图中分别有多少个正方形？
（每个小方格为边长是1的小正方形）
【例题3】
数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个
边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个
所以，图中正方形的总数为：6+2=8个
分析发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：
mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
练习3：
1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？
【例题4】
从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
练习4：
1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？

2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？

3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？
【例题5】
求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）
可以这样计算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）
=52厘米
发现规律，算式中长1厘米的基本线段（把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次，
长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，
长3厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和：
1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）
=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4
=52厘米
如果设线段上的点数为n，
基本线段分别为a1、a2、…a(n－1)。
以上各线段长度的总和为L，
那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+
a3×(n－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1)
练习5：
1.一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？

2.求下图中所有线段的总和。（单位：米）
3.求下图中所有线段的总和。（单位：厘米）