1.2 矩形的判定
复习回顾
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质
(1) 边：对边平行且相等
(2) 角：四个角都是直角
(3) 对角线：相等且互相平分
∵ 矩形ABCD,
∴AB CD，AD BC．
∵矩形ABCD
∴ AC=BD 且OA=OB=OC=OD.
∵ 矩形ABCD
∴ ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
O
1、矩形的四个内角都是______。
2、矩形的对角线______且 __________。
直角
相等
互相平分
3、矩形是______________对称图形。
轴对称和中心
4、在直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的_______。
5、在直角三角形中，斜边上的______等于斜边的______。
30°
一半
中线
一半
矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
由定义入手:
情境：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明:
AB=CD
BC=BC
AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
又∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
∴四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC,AB∥DC
在△ABC和△DCB中
对角线相等的平行四边形是矩形。
0
判定定理2：
有一个角是直角
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角
探究
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
P15你能证明上述结论吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
命题：有三个角是直角的四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
矩形的判定方法（3）
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
归纳：
任意一个四边形，
三角直角定矩形。
对于平行四边形，
一个直角即可定；
对线相等也矩形。
矩形的判定口诀：
你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？
【P15议一议】
如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？
你来评判
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
×
（2）四个角都相等的四边形是矩形； （ ）
√
（4）对角线相等的四边形是矩形； （ ）
×
（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ）
√
（3）四个角都是直角的四边形是矩形。 （ ）
√
（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形． ( )
√
例：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4cm，求这个□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB，
∵△AOB是等边三角形
∴OA = OB，
∴AC =BD，
∴□ABCD是矩形.
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm,
∴BC=
已知：如图，在□ABCD中， M是AD边的中点，且MB=MC。
求证：四边形ABCD是矩形。
P16随堂练习
谈一谈，今天你有何收获？
判定一个四边形是矩形的方法是：
作业
P16习题1.5
第1,2题
2．如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图①)使AB=CD、 EF=GH； (2)摆放成(如图②)的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 。
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格这时窗框是 ，根据的数学道理是 。
有一个内角是直角
相等
矩形
矩形
两组对边分别相等的四边形平行四边形
1． 的平行四边形是矩形．对角线 的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是 形。
平行四边形
有一个角是直角的的平行四边形是矩形
3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， AD∥BC，AD=BC，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：∵ AD=CB AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB⊥BC
∴∠B=90°
∴ □ ABCD是矩形
4、如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，
求证 : 四边形ABCD是矩形。
证明：
∵AB=6,BC=8,AC=10
∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2
∴ ∠B=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
5、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，
求证：四边形AEBD是矩形。
证明：∵ AE⊥BE，AD⊥BD
∴ ∠E=90°, ∠D=90°
∵ BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线
∴ □ AEBD是矩形
即∠DBE=90°
6、已知如图四边形ABCD中
AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：
∵ AO=BO=CO=DO
∴AO=CO，BO=DO
∴四边形EFGH是平行四边形
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
又∵AO+CO=BO+DO
7、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。
求证：四边形EFGH是矩形。
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠DAB+∠ABC=180 °
证明：
同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°
∴四边形EFGH是矩形
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 °
即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线
∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM
又∵AD∥BC ∴ ∠ AQB ∠ QBC= = ∠ ADM
∴BQ∥DM
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 °
即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形
同理：AN∥CP ∴四边形EFGH是平行四边形
变式：平行四边形ABCD，AF、BH、 CH、DF分别是BAD、ABC、BCD、CDA的平分线。求证：EF=GH .
9、如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
(1)求证:0E=0F
(2)当0运动到何处时, 四边形AECF为矩形? 说明理由
E
F
证明：∵CF平分∠ACD
∴∠1=∠2
又∵ MN∥BC
∴∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴OC=OF
同理可证：OC=OE
∴OE=OF
D
答：当点0为AC的中点时，
四边形AECF是矩形
理由：由（1）知0E=0F，
又AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形
祝同学们学习快乐!
拓展：
(1)对角线相等的四边形是矩形吗?
(2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗?
归纳：
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是矩形
等腰梯形
测量…？
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案:
方案:
方案:
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
方案1:
先用两组对边相等判定是平行四边再用定义判定是矩形
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
方案2:
有三个角是直角的四边形是矩形
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案3:
先用两组对边相等判定是平行四边再用对角线相等判定是矩形
分别测量出一组对边的长度和这组同旁内角的度数，如果这组对边的长度相等，且这两个内角都是直角，则窗框符合规格
方案4:
先用一组对边平行且相等判定是平行四边再用定义判定是矩形