矩形的性质和判定
平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
平行四边形的对角线互相平分；
温故知新
平行四边形的判定：
两组对边分别平行的四边形；
两组对边分别相等的四边形；
两组对角分别相等的四边形；
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
一个角是
直角
两组对边
分别平行
矩形
情景创设
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形——
矩形
矩形定义
我们生活中充满了矩形这种几何图形，教室里的黑板，门窗，课桌的桌面，信封明信片等都是矩形的形状，你知道什么是矩形吗？ 你是否了解这种几何图形的性质呢？
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
活动一
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状。
（1）随着∠a的变化,两条对角线的长度怎
样变化的？
（2)当∠a变为直角时，平行四边形成为一个矩形，这时它的其他内角是什么样的角？
（3)当∠a是直角时，平行四边形变成矩形，此时
两条对角线的长度有什么关系？
随着∠a的变化，一条对角线在变长，一条在变短。
都变为了直角
两条对角线相等
活动一
综上所述可得矩形的特殊性质：
矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等
且互相平分.
矩形本身是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质
边
对角线
角
矩形的性质：
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
2:矩形的两条对角线相等.
已知:AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
说明: AC=BD.
解:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.
分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.
∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
矩形的性质
设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
它与AC有什么大小关系?为什么?
由此可得推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
BE等于AC的一半.
∵ AC=BD,BE=DE,
议一议:
O
D
C
B
A
相等的线段：
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有：
△OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB

△OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
已知四边形ABCD是矩形
四边形ABCD是矩形
若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ ㎝ OB= ㎝
若已知∠CAB=40°，则∠OCB=
∠OBA= ∠AOB= ∠AOD=
若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ ㎝
矩形的面积＝ ㎝2
4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= ㎝
5
50°
10
100°
40°
12
48
28
80°
练一练
生活中的数学
给你一根足够长的绳子，你能检查教室的门窗或你的桌子是不是矩形吗？你怎样检查？解释其中的道理。
学以致用
1、判定一个四边形是矩形有几种方法？分别是什么？
平行四边形具备什么条件时成为矩形呢？
想一想：
你认为判断一个四边形是不是矩形，还能用一些什么方法呢？
思考
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
平行四边形
矩形
师傅是怎样知道窗户是矩形的呢?
请你思考
除度量角度之外,木工师傅度量什么也能知道做好的门框是矩形呢?
能证明它的正确性吗?
对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明:
∵平行四边形ABCD ∴AB=CD
∵BC=BC
AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB
判定定理1
动手探究
用画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形，就是一个矩形，这个判断对吗？你能证明吗？
②
①
③
④
有三个角是直角的四边形是矩形
证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 180°
∠B + ∠C = 180°
∴AD∥BC， AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形判定定理2
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的判定：
定义
有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形判定定理2
A
B
C
D
O
例1：□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AC=BD，则□ABCD是 形；（2）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）.
A 对角线相等 B 对边相等
C 对角相等 D 对角线互相平分
2. 下面说法中正确的是 （ ）.
A 有一个角是直角的四边形是矩形.
B 两条对角线相等的四边形是矩形.
C 两条对角线互相垂直的四边形是矩形.
D 四个角都是直角的四边形是矩形.
矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角
线长是 cm.
一. 选择:
二. 填空:
A
D
5
课内练习
本节课你有哪些收获？
1. 矩形的定义：
2. 矩形的性质：
3. 矩形的判别：
有一个内角是直角
对角线相等
AC=BD,OA=OC,OB=OD.
四边形ABCD
是矩形
思想方法方面：
1.有关矩形问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
2.要判别一个四边形是矩形,一般要先判别它是平行四边形,然后再找直角或对角线相等”.
学习了本节课你有哪些收获？