7.5三角形内角和定理
（2）
D
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
观察
外角定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
叫做三角形的外角.
三个特征:1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上;
2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边;
3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线
·
·
·
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
归纳：
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相邻的内角是邻补角．
1 2 4
三角形的外角与三角形的内角之间有怎样的数量关系?
外角
A
3
B C
D
思考1
相邻的内角：
不相邻的两内角呢?
1、三角形的一个外角与
它相邻的内角互补；
证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°
（三角形内角和定理）
即∠2+ ∠3= 180°-∠4
又∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°)
即∠1 = 180°-∠4
∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换)
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1= ∠2+ ∠3
证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和）
∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
１、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
２、三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角。
三角形外角性质
归纳总结：
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
由公理、定理直接得出的真命题叫做推论。
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
三角形的外角与内角的关系：

3
2
1
A
B
C
例1 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角
求证：∠1+∠2+∠3=360°
结论：三角形的外角和等于360°
通常把一个三角形每一个顶点处的一个外角的和叫做三角形的外角和。
想一想 ：三角形外角和为多少？
证明：∵ ∠1 +∠BAF=180°(1平角= 180°)
∠2 +∠CBD=180°
∠3 +∠ACE=180°
又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180°
(三角形内角和定理)
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3× 180°
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 ° - 180°= 360°
判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）

1
60°
110°
练一练： 1、求下列各图中∠1的度数。
练习： 求各图中∠1的度数
练一练
已知：如图,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC,
∠B=∠C.
求证：AD∥BC
试比较∠1 、∠A的大小关系？
你能比较∠2 、 ∠A的关系么？再试试看。
2
P
练一练：2、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按从大到小的顺序排列，并说明理由。
解：∠1＞ ∠2＞ ∠3

解：∵ ∠1是△BDE的外角， ∠2是△ADC的外角
∴∠1＞∠2, ∠2 ＞∠3
∴ ∠1＞∠2＞∠3
例1.已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知),
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
B
A
C
P
N
M
D
E
F
挑战一下！
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿。
360°
(2)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数

（1）用牛皮筋拉成如下形状，你能
够求出∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值吗？
如果可以求出值，如果不可以，
请你说明理由。
(1)若∠C=30°,求∠A+ ∠B+ ∠D+ ∠E的值
你可以想出多少种方法计算：∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。
说一说本节课你的收获！
1 三角形的外角性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2 三角形的内角和等于180˚
三角形的外角和等于360 ˚
3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
我们的收获

谢谢同学们的参与