7.5(2)三角形内角和
学习目标（1分钟）
1、认识三角形外角及内角和定理的两个推论及其证明
2、会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题
自学指导（2分钟）
学生自学，教师巡视（5分钟）
1.由一个公理或定理直接 ，叫做这 个公理或定理的推论。推论可以当作 .
推导出的定理
定理使用
2.三角形内角和定理的推论:
推论1:
推论2:
.
.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
3、三角形的外角： 。
内角的一条边与另一边的反向延长线组成的角
4、一个三角形有 个外角；每个外角与相邻内角之和等于 ；三角形的内角和等于 ；三角形的外角和等于 。
3
180°
180°
360°
自学检测（12分钟）
1、根据“三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和”可知：
∠1= ∠ + ∠ .
∠2= ∠ + ∠ .
∠3= ∠ + ∠ .
三式相加得：
∠1+∠ 2+ ∠3 =2（ ∠ + ∠ +∠ ） (1)
而 ∠4+∠5 + ∠6= 。 (2)
比较（1）与（2）可得：
5
6
4
6
5
4
4
5
6
∠1+∠ 2+ ∠3= 360º
180º
2.如图∠1=35°,∠2=78°,∠3的度数等于_______；如果∠4=16°那么∠2－∠5
的度数等于_______.
67°
16°
4.已知：如图所示.
求证：(1)∠BDC>∠A；
(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
B
C
A
D
3.已知：如图所示,在△ABC中,
∠DCA=100°,∠A=45°
求：∠B和∠ACB的大小.
解：∵ ∠DCA是△ABC的
一个外角(已知)
∠DCA=100°(已知)
∠A=45°(已知)
∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和)
又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角的定义)
∴ ∠ACB=80°(等式的性质)
3.已知：如图所示,在△ABC中,
∠ DCA=100°,∠A=45°
求：∠B和∠ACB的大小.
答案
E
4.已知：如图所示.
求证：(1)∠BDC>∠A；
(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(1) ：延长ＢＣ交ＡＣ于Ｅ
∵∠BDC是△DEC的一个外角
∴∠BDC>∠DEC (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠BDC>∠A (不等式的性质)
B
C
A
D
4.已知：如图所示.
求证：(1)∠BDC>∠A;
(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明：
(2)∵∠BDC是△DEC的一个外角
∴∠BDC =∠C+∠DEC (三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B (三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和)
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C (等量代换)
三角形内角和定理 ：

推论1：
推论2：
三角形三个内角的和等于1800.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
点拨：
能从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作更全面的思考。
例2 已知:如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C (已知)
∴∠C= ∠EAC(等式性质)
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
∵ AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义)
·
·
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证明.
还有其它方法吗？
讨论、更正
证明：∵∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C (已知)
∴∠B= ∠EAC(等式性质)
·
·
∵ AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAE=∠B(等量代换)
∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证明.
已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC.
当堂训练（17分钟）
1、求下列各图中∠1的度数。
90°
85°
95°
2、比较角的大小。
（1）∠ACD ∠A (<、>)；
（2）∠ACD ∠B (<、>)
>
>
D
3、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，
∠C＝∠E．则∠C＝（ ）
A．20° B．25°
C．30° D．40°
B
4 已知：在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上
一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
选做题
2.已知：如图在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C>∠B)，求证：∠EAD= (∠C-∠B)
1、如图：是一个五角星，求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
4 已知：在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上
一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
证明：
∵ ∠1是△ABC的外角 (已知)
∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相
邻的内角)
∵∠3是△CDE的一个外角
∴∠3>∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相
邻的内角)
∴ ∠1>∠2 (不等式的性质)
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义),
∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义),
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质)
1.如图1：是一个五角星，
求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）]∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，∵∠EAD=∠EAC-∠DAC∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）= （∠C-∠B）．
2.已知：如图在⊿ABC中，AD⊥BC于D，
AE平分∠BAC(∠C>∠B)，
求证：∠EAD= (∠C-∠B)