7.5 三角形的内角和
学 习 目 标
1、通过拼图验证三角形内角和。
2、能理解和掌握三角形内角和定理 的证明过程。
3、能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理证明。
创设情境激发情趣：
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
命题：三角形的三个内角和是180°
你能验证这个命题吗？
验证：三角形的三个内角和是180°
图1
图2

图3
A
B
C
A
A
B
B
C
C

结论：三角形的内角和等于1800.
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）
所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
E F
结论：三角形的内角和等于1800.
所以∠B+∠BAC +∠C =180°
（等量代换）
已知：△ABC.
求证：
∠A +∠B +∠C =180°
证明：过A作AE∥BC，
则∠B=∠1
(两直线平行,内错角相等)
因为∠1+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
结论：三角形的内角和等于1800.
定理：三角形的三个内角和是180°
一个三角形中能有两个直角吗？
一个三角形中能有两个钝角吗？
三个内角都能小于600吗？
讨论
（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，
则∠ C= .
（2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,
则∠A = ＿＿＿＿。
（3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，
则∠C = ＿＿＿＿。
1020
400
1200
你真棒！
新知应用
已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
x+3x+5x=180°
解得　　x=20°
所以三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
例题
由三角形内角和为180°得
求出下列图中x的值:
x
x
x
x =600
x
x
x =450
2 x
x
┐
x =300
3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在
一定的大小关系？
A
B
C
P
D
E
他们是怎样的，并加以证明？
证明：因为 AB ∥CD
（
1
（
2
所以 ∠1 + ∠ B =1800
(两直线平行，同旁内角互补）
因为∠2+ ∠P +∠D=1800
（三角形内角和定理）
∠1= ∠2 （对顶角相等）
所以∠ B=∠P +∠D (等量代换）
练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。
拓广探究
回顾与小结
本节课里你学到了什么？？？
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 °
2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需
转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。
作业
1.课本P76：1题（1）（2）（4） 小题、2题（1）（2）小题、3题、4题；
2.《配套练习》P31:练习三
感谢光临指导，再见
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。
思路总结：
为了证明三角形三个内角的和为180°,通常应用转化思想。转化为：
平角或两直线平行，同旁内角互补
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
三角形按角的大小分类如下：
我们可以按三角形内角的大小将三角形分为三
类：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形。
钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。
同学们，你们知道其中的道理吗？
问题1
想一想
１．平角的度数是180°
２．两直线平行，同旁内角的和是180°
从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?
3. 邻补角的和是180 °
问题：有什么方法可以得到180°
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∠C= 90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）
∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜
（等式性质）
即∠A+∠B=90゜
A
B
C
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜
求证：∠A＋∠B＝90 ゜
演示
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三角形的三个内角和是多少?
方法三: 将各角沿着一边所在的直线折叠