简单的轴对称图形
角和角平分线性质
l垂直平分
l垂直平分
l垂直平分
轴对称图形的性质
C'
A'
A
C
B
M
N
B'
成轴对称的性质
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分
轴 对 称 的 性 质
2.对应线段相等,对应角相等
在轴对称图形和两个成轴对称图形中，
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”）
1 定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线
2 线段的对称轴是这条线段的 垂直平分线
A
B
线段的垂直平分线
3垂直平分线的性质：垂直平分线上的任意点到这条线段两个端点的距离相等。
用几何语言表达
∵
AO=BO,MO⊥AB
M
(已知)
∴
MA=MB
(线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)
A
B
尺规作线段的中垂线
作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；
(2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C、D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
用直尺找出线段AB的中点O.
2.再过点O画出与线段AB
垂直的直线CD，
A
D
C
B
O
直线CD就是线段AB的垂直平分线
已知线段的垂直平分线的作法：
2、用直尺做垂直平分线
一、复习引入
1．点到直线的距离的定义是什么?
2．角的定义。角平分线定义
角是不是轴对称图形？
A
B
O
做一做
（1）在一张纸上任意画一个角∠AOB
A
O
B
沿角的两边剪下,
将这个角对折，使角的两边重合。
E
（2） 在折痕(即角平分线)上任意取一点C;
(3) 过点C折OA边的垂线，
得到新的折痕CD，
其中点D是折痕与OA的交点，即垂足
4) 将纸打开，新的折痕与OB 的交点为 E 。
A
O
B
（1）角是轴对称图形吗？
如果是，请找出它的对称轴
E
角是轴对称图
角的对称轴是角的平分线所在的直线。
角平分线的性质
A
O
B
（2）在上述的操作过程中，你发现了哪些线段相等？说说你的理由。
CE=CD
E
角平分线的性质
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
C
Ｄ
E
几何表达：
∵OC平分∠ AOB，
CD⊥OB, CE⊥OA
∴CD=CE
角平分线上的点到角两边的距离相等.
P在∠AOB的内部，PC⊥OA于A,PD⊥OB于D，且PC＝PD，能判断点P的位置？
角平分线逆定理
点P在角平分线上。
角的集合定义：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
几何语言：
∵点P在∠AOB的内部，
PC⊥OA于A，PD⊥OB于D，
且PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上．
怎样用尺规作一个角的平分线？
O
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．

判断题
（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点 （ ）
（2）到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（ ）
（3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 （ ）
×
√
×
已知：点P为∠AOB的角平分线上的一点，它到OA的距离为2cm，那么它到OB的距离是__________________。
2cm
2cm
？
如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB ,垂足为E。DE与DC相等吗？为什么？
∵ ＢD是∠ABC的平分线
DE⊥AB DC⊥BC
∴ DE＝DC
解： DE＝DC
如图：D是∠B与∠C的平分线的交点，有人说D点也在∠A的平分线上你同意吗？
其中有四个班的同学分别在M、N两处参加劳动，另外四个班的同学分别在道路AB、AC两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P到两条道路的距离相等，且使 PM= PN，请你找出点P的位置，并说明理由。
A
M
B
N
C
P
A
B
C
A、B、C三点表示三个镇，随着乡镇外资、集体、个体工业的发展需要，现三镇联合建造一个变电所，要求变电所到三镇的距离相等，请你作出变电所的位置（用点P表示）
1、分别连接AB、BC
2、分别作线段AB、BC的垂直平分线
两直线交于点P
则点P为所求的变电所的位置
P
直线a,b,c表示三条相交叉的公路若在三条公路围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条公路a,b,c的距离相等,则加油站应建在何处？
a
b
c
A
B
Ｐ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
C
A
三条公路的交叉处为一个三角形区域，现在要在此区域内建一个加油站，使得该加油站到三条路的距离相等。请你运用所学知识，帮助设计者确定此加油站的位置。
求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点距离相等.
比较
到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
D
到三角形的三条边距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
A
对于任意△ABC，是否能找到一点P，使得：
（1）该点P与△ABC的三个顶点的距离相等？
（2）该点P与△ABC的三条边的距离相等？
■在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上一定点,则当点P运动到何处时,△PBE的周长最小?
C
A
B
D
P
E