探索直线平行的条件(1)
北师大七年级(下)
回顾与思考
在同一平面内
相交(有一个交点）
平行（没有交点）
同一平面内，不相交
如图,装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁的边缘垂直，那么木条a与墙壁的边缘所夹的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？
答: 木条 a 与墙壁的边缘也垂直时
才能使木条a与木条b平行.
平行在日常生活中的应用
如图，三根木条相交成∠1,∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1， ∠2大小关系以及直线a与b的位置关系.
①直线a和b不平行
②直线a∥b
③直线a和b不平行
做一做
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.
上述三个木条所成角的图可统一画成如图2—6.
同 位 角 的 定 义
你能说出同位角的特征吗?
两直线被第三直线所截,位于两直线同一方、且在第三直线同一侧的两个角，位置相同的一对角叫做同位角.
学会从复杂图形中分解出简单图形
将上述互为同位角的两个角，从图2—6中分解出来，画出如图①②③④的草图，
从这些简单图形中容易识别出∠1和∠2都是同位角．
右上
左上
左下
右下
∠1和∠2不是同位角，
练 一 练
因为∠1和∠2在两直线的同一方，但不在第三直线的同一侧。
∠1和∠2是同位角，
因为∠1和∠2在两直线的同一方，且在第三直线的同一侧。
判断两条直线平行的方法：
回到两直线平行的判断上来
∥
由此可得：
两直线 平行的判定公理
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两
条平行线吗？
同位角相等，两直线平行.
一、放
二、靠
三、推
四、画
请说出其中的道理。
议一议
1、找出下面点阵图中互相平行的线段，并说明理由.
（点阵中相邻的四个点构成正方形）
①　AB∥CD
②　EF∥GH
∵ ∠AMP=∠CPF=45°
∴ AB∥CD
∵ ∠AMP=∠ANQ=45°
∴　EF∥GH
E
G
B
D
F
H
随堂练习
请看下面的推理是否正确
∵ ∠AMP=∠CQH
∴　EF∥GH。
A
C
M
N
P
Q
p55
（同位角相等，两直线平行）
（同位角相等，两直线平行）
2、如图，∠1 = ∠2 = 55°， ∠3等于多少度？
直线AB、CD平行吗？ 说明你的理由。
第2题图
3
1
2
A
B
F
C
D
E
∵ ∠1 = ∠2 = 55°
∠3 = ∠2，
∴ ∠3 =∠1= 55°
∴ AB∥CD.
随堂练习
p55
（ ）
对顶角相等
每得出一个两直线平行的结论，
都要依序完成下列三个过程：
小结
2、“同位角相等，两直线平行”
是判断两直线平行的公理。
1、找同位角的关键是抓住第三线,
从F形中去找第三线同侧、
另两线的同一方位的两个角。
①找出同位角； ②说明这两个同位角相等；
③用公理得出“平行”的结论。
2
第二章 相交线与平行线
探索直线平行的条件(2)
北师大七年级(下)
《数学》( 北师大.七年级 下册 )
回顾与思考
两直线相交形成 4 个角，从数量关系上讲，∠1与∠2形成 角，
1
2
3
4
互补的
从位置关系上讲， ∠2与∠4形成
对顶角
除了能找到互为补角的角、对顶角外，你还能找出 什么具有特殊位置关系的角吗？
还能找出 角。
同位
4
“三线八角”中
有同位角 组。
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段（如图所示）。
动脑筋
动脑筋
小明身边只有一个量角器，
他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
分解出∠2与∠4，
定义：两条直线被第三条直线所截，位于截线两侧，被截线之间的两个角，叫做～
我们称∠2和∠4为内错角。
内错角像Z！
内 错 角
两直线的内部(两直线之间);
“错”的涵义：
第三直线的两侧.
同 旁 内 角
“内”的涵义：
“旁”的涵义:
两直线之内;
第三直线的同旁
同
旁
内
角
两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧，被截线之间的两个角叫做同旁内角。
同旁内角像U
“三线八角” 小结
构成的八个角中，
两直线被第三直线所截,
①位于两被截线同一方、且在截线同一侧的
两个角，叫做同位角
② 位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的
两个角,叫做 内错角 ;
③ 位于两被截线的内部,
且在第三直线的同旁的
两个角,叫做 同旁内角 ;
Z
U
两条直线平行 的 判定
㈡ 同旁内角满足什么关系时？两直线平行？
为什么？
为什么？
做一做
B
C
D
A
E
图2—8
你看得懂她的意识吗？
她选的第三线是谁？
他选谁为第三线？
内错角相等，
两直线平行。
选BD作第三线，
如图2—8，三个相
同的三角尺拼成一个图
形，请找出图中的一组
平行线，并说明你的理由。
用三角尺的60角相等
说明“同位角相等”，
用“同位角相等两直线平行”
来说明 BD∥AE。
用的是什么角？
内错角。
你知道这一步的理由吗？
AC
做一做
再找一组平行线，说明你的理由。
1、观察右图并填空：
∠1 与 是同位角;
(2) ∠5 与 是同旁内角;
(3) ∠1 与 是内错角;
随堂练习
p 68
b
a
n
m
2
3
1
4
5
∠4
∠3
∠2
a∥b.
l∥m.
l∥n .
小结
① 同位角有4对：
② 内错角有2对：
③ 同旁内角有2对：
∠1和∠2,
∠3和∠4,
∠5和∠6,
∠7和∠8.
∠7和∠2,
∠5和∠4.
∠7和∠4,
∠5和∠2
为什么“内错角相等时,二直线平行”
已知: 如图 , 二直线a 、 b
b
a
被第三直线 c 所截,
求证: 直线 a∥b.
内错角 ∠1 = ∠2 .
证明:
∵∠3 = ∠1,
( )
对项角相等
∠1 = ∠2, ( )
已知
∴ ∠3 = ∠2; (
∴ 直线 a∥b. ( )
等量代换)
同位角相等,两直线平行.
同位角相等
对顶角相等
内错角相等
为什么“同旁内角互补时,二直线平行”
已知: 如图 , 二直线a 、 b
b
a
被第三直线 c 所截,
求证: 直线 a∥b.
同旁内角 ∠1 与∠2互补 .
证明: 设∠1 的 角是∠3,
已知
∴ ∠3 ; (
∴ 直线 a∥b. )
同位角相等

同旁内角互补
1
同角的补角
相等
补
互补
= ∠2
同角的补角相等
同位角相等,两直线平行.
内错角相等
同角的补角
相等
∵ ∠1 、 ∠2 ( )
补
= ∠2
同角的补角相等)
(内错角相等,两直线平行.
接做一做