探索直线平行的条件
第一课时
不在同一平面内——
在同一平面内
异面直线
相交
平行
的两直线叫做平行线.
同一平面内，不相交
同一平面内
(无公共点)
根据平行线的定义，两条直线平行必须符合什么条件?
(1)同一平面内；
(2) 没有交点．
复习引入
1
2
3
4 大家还记得画平行线的方法吗？那为什么要平推呢？这里有什么数学道理吗？
1、认识同位角
新知探究
⑵两条直线相交，交成几个角? 这些角都有什么样的关系?
两条直线相交成的四个角中有对顶角 对,邻补角有 对
对顶角
邻补角
2
4
⑴你学过了哪些具有特殊位置关系的角?
⑶画一画：两条直线AB、 CD与直线EF相交，交点分别为E F如图则称直线AB 、CD 被直线EF所截，直线EF为截线。
两条直线AB 、CD 被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”。
新知探究
⑷这八个角中对顶角、邻补角各有些？
三条直线构成的八个角之间除以上这些角的关系外，还有什么样的关系．
同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角。
①、∠1、∠5的边所在的直线是哪些直线？
②、公共直线是哪条？（公共直线就是第三条直线）
③、∠1、∠5可以看成哪两条直线被第三条直线截出的角？
④、∠1、∠5在位置上有哪些相同点？重点强调位置关系。
⑤、图中还有哪些同位角？
∠1与∠5分别在直线AB、 CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同.
新知探究
②同位角的位置特征
①你能看出两个同位角的顶点之间、边与边之间有什么关系吗?
新知探究
同位角没有公共的顶点和公共的边但有一条边在一条直线上，且方向相同
ⅰ在截线的同旁；
ⅱ在被截两直线的同方向；
满足“F”型。
同位角的特征
∠1和∠2不是同位角，
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
1
2
1
2
因为∠1和∠2无一边共线。
∠1和∠2是同位角，
因为∠1和∠2有一边共 线、同向，
且不共顶点。
概念辨析
变式题：
如图,∠1和∠2是同位角的是（ ）
A. ⑴、⑵、⑶， B. ⑵、⑶、⑷，
C. ⑶、⑷、⑸， D. ⑴、⑵、⑸
答案：D
概念辨析
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1， ∠2满足什么条件时直线a与b平行.
①直线a和b不平行
②直线a∥b
③直线a和b不平行
新知探究
2 探索两直线平行的条件
同位角相等，两直线平行
条件:两条直线被第三条直线所截得的同位角相等
结论:这两直线互相平行
∵ ∠1=139°，∠2=139°（已知）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
∵ ∠1=∠2,∠1和∠2是同位角
∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
新知探究
1、如图∠1=150°∠2=150°a//b吗？
2、如图，∠C=31°，当∠ABE= 度时，就能使BE//CD？
解： ∵ ∠1=150°，∠2=150°（已知）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
小试牛刀
∵ ∠1=∠2,∠1和∠2是同位角
∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
解：31 °
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线？试用这种方法 过已知直线外一点画它的平行线.请说出其中的道理。
同位角相等，两直线平行.
一放
二靠
三推
四画
小试牛刀
3
类型之一 直接运用
例1、如图所示：∠1=∠C，∠2=∠C请你找出图中互相平行的直线，并说明理由。
(2) AC∥BD.
∵∠2与∠C是 BD, AC被CD截成的同位角，
∠2=∠C
∴ AC∥BD
例题讲解
解：（1）AB∥CD
∵∠1与∠C是 AB，CD 被AC截成的同位角，
∠1=∠C
∴AB∥CD
运用“同位角相等,两直线平行”
是判定两条直线平行的有效方法
例2．如图，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
例题讲解
类型之二 间接运用
解 ∠3= 55 °，AB ∥CD 理由如下：
∵ ∠3=∠2 （对顶角相等）
∠2=55°（已知）
∴ ∠3=55 ° （等量代换）
∵ ∠1=55 ° ∠3= 55 °
∴ ∠1=∠3 （等量代换）
∵ ∠1=∠3， ∠1和∠3 是同位角
∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
例题讲解
变式1：如图，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
解 ∠3= 55 °，AB ∥CD 理由如下：
∵ ∠3=∠2 （对顶角相等）
∠2=55°（已知）
∴ ∠3=55 ° （等量代换）
∵ ∠1=55 ° ∠3= 55 °
∴ ∠1=∠3 （等量代换）
∵ ∠1=∠3， ∠1和∠3 是同位角
∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
变式2：如图，∠1=55°，∠2=125°，∠3等于
多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
例题讲解
解 ∠3= 55 °，AB ∥CD 理由如下：
∵ ∠3+∠1=180 ° （平角定义）
∠1=125°（已知）
∴ ∠3=55 ° （等量代换）
∵ ∠2=55 ° ∠3= 55 °
∴ ∠2=∠3 （等量代换）
∵ ∠2=∠3， ∠2和∠3 是同位角
∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
1、如图1,点E在CD上,点F在BA上,G是AD延长线上
一点.若∠A=∠1,则可判断___∥___,因为________.
2、如图2若∠1=45°，则∠2=_____时. l1∥l2，
3、如图3，若∠A=_____，则AC∥ED ，这是因为________
练习检测
4、如图，在同一平面内,如果两条直线b、c都垂直于同一条直线a,那么这两条直线平行吗?为什么?
解： ∵ a⊥b，c⊥a（已知）
∴ ∠1=90°,∠2=90°（垂直定义）.
∴ ∠1=∠2=90°（等量代换）
∵ ∠1=∠2， ∠1和∠2是同位角
∴ b∥c (同位角相等,两直线平行).
练习检测
3、每得出一个两直线平行的结论，都要依序完成下列三个过程：
①找出一对同位角；
②说明这两个同位角相等；
③用公理得出“平行”的结论。
2、判断两直线平行的条件
“同位角相等，两直线平行”
1、同位角的定义
两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角。
①在截线的同旁；
②在被截两直线的同方向；
满足“F”型。
小结提升
标题
第 二 章
平行线与相交线
2.2 探索直线平行的条件(第2课时)
标题
《数学》( 北师大.七年级 下册 )
探索活动一
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，逆时针转动木条a .
问题一：观察∠2的变化以及它与∠1 的大小关系？
问题二：木条a与木条b的位置关系
发生了怎样的变化？木条a何时与木条b平行？
2
∠1＞∠2，
①直线a和b不平行
∠1=∠2，
②直线a∥b
2
2
a
∠1＜∠2，
③直线a和b不平行
探索活动一
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，逆时针转动木条a .
问题三：改变图中∠1的大小，按照上面的方式再做一做，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？
b
c
1
a
2
当∠1=∠2时，
木条a与木条b平行
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
归纳：
两直线平行的判定公理
简写成：同位角相等，两直线平行
符号语言
学以致用
例1.如图，∠1 =∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB、CD平行吗？说明你的理由。
解：∠3= 55°，AB∥CD
理由：∵∠2=55°（已知）
∴∠3= ∠2=55°
∵∠1=55°（已知）
∴∠1=∠3= 55°
∴AB∥CD
（等量代换）
(对顶角相等）
（同位角相等，两直线平行）
温故并思考
用平移三角尺方法过已知直线外一点这条直线的平行线，其中的道理是什么？
45°
45°
（同位角相等，两直线平行）
探索活动二
问题1：当内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
问题2：当同旁内角角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
猜想：内错角相等,两直线平行.
同旁内角互补,两直线平行.
已知: 如图 , 直线a 、 b
b
a
被直线 c 所截,
求证: 直线 a∥b.
∠1 = ∠2 .
证明:
∵∠3 = ∠1,
( )
对顶角相等
∠1 = ∠2, ( )
已知
∴ ∠3 = ∠2; ( ）
∴ a∥b. ( ).
等量代换
同位角相等,两直线平行.
为什么“内错角相等时,二直线平行”？
结论：内错角相等,两直线平行.
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
归纳：
简写成：内错角相等，两直线平行
符号语言
解:(1) AC // BD，理由如下：
∵ ∠1=∠ABD
∴ AC // BD（ ）
如图，直线AB、CD同时被直线AC、BD所截，∠1=∠ABD, ∠2=∠ABD,请找出图中相互平行的直线，并说明理由.
(2) AB // CD，理由如下：
∵ ∠2=∠ABD
∴ AB // CD（ ）
内错角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
学以致用
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
判定两直线平行的方法
小结
探索活动二
问题2：当同旁内角角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
猜想：同旁内角互补,两直线平行.
已知: 如图 , 二直线a 、 b
b
a
被直线 c 所截,
求证: a∥b.
∠1 +∠2=180°
∴ a∥b. ( ).
1
同位角相等,两直线平行.
∠1 +∠2=180
证明: ∵ ∠1 +∠3=180,
∴ ∠2= ∠3=180( )
同角的补角相等
为什么“同旁内角互补时,二直线平行”？
结论：同旁内角互补,两直线平行.
① ∵ ∠1 =_____（已知）
∴ AB∥CE
② ∵ ∠1 +_____=180o（已知）
∴ CD∥BF
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
∴ _____∥_____
AB
CE
∠2
④ ∵ ∠4 +_____=180o（已知）
∴ CE∥AB
∠3
∠3
（内错角相等,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
学以致用
条件开放题
如图，直线a、b被直线c所截，∠1= 40°，能添加一个条件使得直线a与直线b平行吗？
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
平行线的判定
判定
数量关系
位置关系
小结
1、观察右图并填空：
∠1 与 是同位角;
(2) ∠5 与 是同旁内角;
(3) ∠1 与 是内错角;
随堂练习
p 68
b
a
n
m
2
3
1
4
5
∠4
∠3
∠2
a∥b.
l∥m.
l∥n .
布置作业：
在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道—— 毕达哥拉斯
结束寄语
做一做
B
C
D
A
E
图2—8
你看得懂她的意识吗？
她选的第三线是谁？
他选谁为第三线？
内错角相等，
两直线平行。
选BD作第三线，
如图2—8，三个相
同的三角尺拼成一个图
形，请找出图中的一组
平行线，并说明你的理由。
用三角尺的60角相等
说明“同位角相等”，
用“同位角相等两直线平行”
来说明 BD∥AE。
用的是什么角？
内错角。
你知道这一步的理由吗？
AC
做一做
再找一组平行线，说明你的理由。