第四单元 分数的意义和性质

第一节：分数的产生和意义

教学内容：人教版小学数学五年级下册第45-46页
知识与技能：
使学生知道分数的产生，理解分数的意义，学会用分数描述生活中的事情。
问题解决与数学思考：
使学生在初步认识分数的基础上，理解分数的意义，知道分子、分母和分数单位的含义；培养学生抽象、概括的能力。
情感态度和价值观：
在学生活动中感觉数学与生活的密切联系，体验数学的价值，获得成功、兴趣、愉悦的情感体验，激发学习数学的兴趣。
教学重点：理解分数的意义。
难点：认识单位“1”，知道许多的物体也可以看作一个整体。
教学设计：
一、教学分数的产生：
1、请一个学生用米尺测量黑板的长，说一说用“米”作单位，测量结果能不能用整数表示。
2、在古代，人们就已经遇到了这样的问题，请看课本第45页上面的插图（教师用一根打了结的绳子演示古人测量的情况）。
3、在我们的日常生活中，为了平均分配一些东西，也常常人遇到不能用整数表示的情况。比如，看课本第45页下面的插图。两个小朋友平分一个橘子、一块月饼、一块饼干，每人分到的能用整数表示吗？
4、小结：正是这样的实际需要，产生了分数。
设计意图：通过实际的测量提出问题，让学生体会到分数产生的必要性，为理解分数的意义做好准备。
二、教学分数的意义
1、以前，我们已经学过分数的初步认识，你能举例说明
的含义吗？
2、看教材第46页的插图，说一说每个图下的
分别是：
（1）把什么看作一个整体？
（2）平均分成了几份？
（3）怎样表示这样的一份？
3、如果把
改成
，请再说说它的具体含义。
根据学生的回答，教师逐步板书：
把一个图形看作一个整体，平均分成4份，这样的一份是
，三份是
。
把4根香蕉看作一个整体，平均分成4份，每根是这把香蕉总根数的
，三根是
。
把一盘面包看作一个整体，平均分成4份，每份是这盘面包的
，三份是
。
4、概括分数的意义。
（1）一个物体、一些物体都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或分份可以用分数来表示。
（2）一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”
（3）请说出上面三个例子中的单位“1”分别指什么。
根据学生的回答，老师把板书中的“一个整体”分别改成“单位1”
（4）你能说出分子、分母的含义吗？同桌两人议一议。
老师采纳或修正学生的回答，加以板书：


……分子：表示有这样的的几份
……分母：表示把单位“1”平均分成几份
（5）以
为例，说一说分数的书写顺序及其含义
①先写分数线，表示平均分；
②再写分母，表示把单位“1”平均分成了几份；
③ 最后写分子，表示有这样的几份。
设计意图：从具体的四分之一入手，得到它的具体含义，由此推出分数的意义，遵循了由具体到抽象，由个别到一般的推理过程，便于学生理解。
三、完成“做一做”
1、学生完成教材第46页做一做（填写在教材上）
2、交流、核对答案。要求完整地说，如：
一堆糖，平均分成3份，每份（ ）颗，2份是这堆糖的
。
设计意图：边讲边练，对学生掌握的情况及时反馈，把知识落到实处。
四、教学分数单位：
1、自然数的单位是几？7里面有几个1？26呢？
2、
的分数单位是什么？它有几个这样的单位？
3、引出分数单位的概念：
把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
4、说出上面“做一做”中几个分数的分数单位，它们分别有几个这样的单位。
5、指出：分数单位是由分母决定的，分母是几，分数单位就是几分之一。
设计意图：从学生已有的整数的计数单位入手，自然地过渡到分数的计数单位。从而引出概念，便于学生较好地理解知识。
五、巩固练习
1、完成教材第47页练习十一第1~3题。
2、用直线上的点表示分数。


3、交流经验：先找准单位“1”，再看平均分成了几份，然后确定直线上这一点用几分之几表示。
六、师生共同小结
1、本节课，我们学习的主要内容是什么？
2、说说你的收获。
设计意图：通过概括，使学生对所学的知识有一个整体的认识，构建自己的知识结构。
七、布置作业
教材第47页练习十一第2~4题。
板书设计


第二节：分数与除法
教学内容：人教版小学数学五年级下册第49-50页
知识与技能：
使学生理解分数与除法的关系，会用分数表示两个数相除的商。
问题解决与数学思考：
经历探索分数与除法关系的过程，进一步培养学生观察、比较、分析、推理等思维能力。
情感态度和价值观：
创设探究活动情境，促进学生在自主探究、合作交流的学习过程中，获得研究性学习的经验，获得成功的体验。
教学重点：会用分数表示除法的商。
教学难点：理解分数与除尘的内在联系和区别。
教学设计：
一、讲授新课
1、复习旧知，启动研究问题（出示题组）
师：（出示圆形纸片）用 表示饼，把6把饼平均分给3个人，每人分得多少张饼？
生：6÷3=2（张）。
师：如果把1张饼平均分给2 个人，每人分得多少张饼？
生：1÷2=0.5（张）。
师：如果把1张饼平均分给3个人，每人分得多少张饼？
生1：1÷3≈0.3（张）。
生2：0.3333……
师：结果除了用循环小数，还可以用什么表示？
生：
（张）。
师：你们是怎样得到的？（学生表述，教师用电脑演示）


生：第人分得1张饼的
，就是
张饼。
师：大家观察这组算式，两个数相除，商可能是什么数？
6÷3=2（张） 1÷2=0.5（张） 1÷3=
（张）
生：可能是整数，可能是小数，当结果除不尽时，还可以用分数表示。
师：那么会不会任意两个数相除，商都可以用分数表示呢？这节课我们就来研究这个问题。
2、自主探索，研究分数与除法的关系。
（1）提出问题，合作探究。
师：如果把3张饼平均分给4个人吃，每个吃多少张饼呢？怎样列式？
生：3÷4=
师：每个人手里都有3张圆纸片，以小组为单位，亲自分一分，看看结果是多少。（小组合作，老师巡视）
（2）交流汇报。
组1：我们把每张饼平均分成4份，一共分成了12分，每人吃了3份，就吃了
张。
师：谁有问题？
生：我觉得应该是
张。
师：现在出现了两种不同的答案，哪个结果正确呢？继续发表意见。
生1：他们组的和我们是相同的，把每张饼平均分成4份，一共分成12份，每个吃3份，这些是相同的，但每人分得的饼不是
张，应该是
张。
生2：
张，他们组是不是把12份看成了单位“1”了？
生3：他们把12个
看作单位“1”了吧？也就是把3张饼看作单位“1”，可现在每份是1张饼的
，3份是1张饼的
，所以是
张。
生4：我们组认为把3张饼平均分成12份，那一小份是
张，每人分得3份，就是3个
张，应该是
张。
师：现在大家的意见统一了，每人分得几张？（生答
张）。
组1：我们明白了，把每人分得的3分拼起来就是1张饼的
，就是
张。
师：还有更简单的分法吗？
组2：我们把3张饼摞起来看作一个整体，平均分成4份，每人分得1份，就是
张。
师：引导学生提出问题：
①每人分了这3张饼的几分之几？
②3张饼的
就是多少张饼？
③怎么看出是
张？（还得一张一张地摆）
④3张饼的
展开后就是1张饼的几分之几？
师：还有不同的分法吗？
组3：我们组有的同学是先分两张饼，每张饼平均分成2份，再把第三张饼平均分成4份，合起来每人就是
张。（学生评价）
师小结：（出示课件）
①把3张饼一张一张地分，每人每次分得
张饼，分了3次，共分得3个
张，就是
张；


②也可以把3张饼摞起来一块分，每个人都分得了3张的
，就是
张。【板书3÷4=
（张）】


3、借助学具，深化研究。
a、如果把2张饼平均分给3个人，每人应该分得多少张？
b、如果把3张饼平均分给5个人，每人应该分得多少张？
师：请各小组任选一个问题加以研究。
学生交流汇报
师：刚才大家研究了分饼的问题，如果不借助学具，你能说出7÷8的结果吗？（生答：
）
二、观察版式，概括分数与除法的关系
师：大家观察这些算式，看看你能发现什么。把你的发现向小组的同学说一说。
生1：分数的分子，相当一除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。
师：被除数÷除数=
。
如果用a表示被除数，b表示除数，那么a÷b可以写成什么形式？
大家还需要补充什么？（生答：b≠0）
师：刚才大家的发现就是分数与除法的关系。
三、教学例3
1、出示例3.
2、学生读题，理解题意，并列出算式。
3、利用除法与分数的关系得出结果。
7÷10=

答：鹅的只数是鸭的
。
20÷10=2（倍）
鸡的只数是鸭的2倍。
四、布置作业
教材第51页练习十二第1—4题。
板书设计


第3节：真分数和假分数
教学内容：人教版小学数学五年级下册第53-54页
知识与技能：
使学生理解真分数和假分数的意义，感受数形结合思想。
问题解决与数学思考：
培养学生的观察、分析和概括能力，掌握把假分数转化为整数或带分数的方法。
情感态度和价值观：
提高学生自主探索、合作交流的能力，激发学生的学习兴趣。
教学重点：理解真分数和假分数的意义，掌握它们的特点。
教学难点：掌握把假分数转化为整数或带分数的方法。
教学设计：
一、复习导入
前面我们学习了分数的有关知识，今天我们继续学习有关分数的内容。（出示）


师：用分数怎样表示每幅图中的阴影部分？
生：
，
，
，
，
，
，

二、探究交流
师：观察以上各个分数，如果让你给它们分类，你认为可以分成几类？你的分类标准是什么？先在小组里交流一下想法。
学生讨论、交流。
师：哪个小组愿意把你们的分类情况与大家交流一下？
生1：我们把这些分数分成了三类。第一类是分子比分母小的分数
，
，
，第二类是分子等于分母的分数
，第三类是分子比分母大的分数
，
，
。
生2：我们是把这些分数分成了两类。第一类是分子是分母的倍数的分数
，
，第二类是分子不是分母的倍数的分数
，
，
，
，
，。
师：还有不同的分法吗？
生3：我们和第一组同学的分法差不多，我们也是分成了三类。第一类是比1小的分数
，
，
，第二类是等于1的分数
，第三类是比1大的分数
，
，
。
生4：其实他们组和第一组同学的分法是一样的。因为分子比分母小，那分数就小于1，分子等于分母，那分数就等于1，分比比分母大，那分数就大于1.
设计意图：通过先让学生看图写分数，再让学生根据自己的标准分类，充分发挥学生的学习主动性，培养学生的学习意识，提高学生的观察、分析和概括能力。这样既突出了学生的自主学习和个性差异，又体现了知识间的内在联系。
师:你能再解释一下为什么分子比分母小，分数就小于1；分子等于分母，分数就等于1，分子比分母大，分数就大于1吗？
生4：分子比分母小也就是被除数比除数小，所以商就小于1，分子等于分母也就是被除数等于除数，所以商就等于1；分子比分母大也就是被除数比除数大，所以商就大于1.
师：这个同学是通过分数与除法的关系来解释的，行不行？
生：行
生5、我是从分数的意义上想的，因为分子比分母小，说明它分的份数多，取的份数少，也就是只取了一部分，所以它就小于1，而分子等于分母，说明它分了多少份就取了多少份，所以它就等于1；分子比分母大，说明它不但取了所有的分数而且还另外取了一些，所以它就大于1。
师：很好，那我们把这两组同学的分法归为一类好吗？
生：好！
师：同学们刚才按照一定的标准把这些分数进行了分类，而且理由说得也很很充分，其实 ，你们的想法与数学家们的想法也很相似，他们也是根据分子与分母的大小关系把这些分数分成了真分数和假分数两类。那么你们想一想，数学家们是把哪些分数称作真分数，哪些分数称作假分数？
学生先讨论，然后汇报。
生1：我们认为分子比分母小的分数和分子等于分母的分数是真分数；分子比分母大的分数是假分数。因为分子比分母小和分子等于分母的分数都是单位“1”够取的，而分子比分母大的分数都是单位“1”不够取，还要另外再取。
生2：我们认为分子比分母小的分数是真分数，分子等于分母和分子比分母大的分数是假分数。因为分数就是平均分成若干份，取其中的一部分，如果都取了或者是取的比分的多，那就不实际，也就是说它不是真的，是假的了。
师：那下面就让我们来看一看数学们的说法吧！（出示课件）
“在人类历史上，最初产生的分数是作为整体或一个单位的一部分，这样的分数就叫真分数。后来为了满足数系扩充的需要，把整数看作分母是1的分数，这样的分数就是假分数。”
师：由此我们可以看出，分子比分母小的分数叫做真分数，分子等于分母或分子比分母大的分数叫做假分数。
那么真分数和假分数有什么特点呢？
生：真分数比1小，假分数等于或大于1.
师：观察复习导入中等5、6个图以及分数
，
，你发现了什么？
学生观察、讨论、交流。
师总结：
可以看作是由
（就是1）和
合成的数，
可以看作是由
（就是2）和
合成的数，这样的数可以写作1
和2
，读作一又四分之三和二又五分之一。像1
，2
，……这样由整数和真分数合成的数叫做带分数。
设计意图：在这个教学环节的设计中，充分体现以学生为本的教学理念，在学生获取亲知识的过程中，大胆放手，引导学生自主探索，突出知识的形成过程，使学生对新知沿着理解、掌握、熟练的过程不断前进，从而获得最佳的教学效果。教学中通过放与收的结合，把握住教师的指导性和学生的自主性。
三、巩固练习
1、下面的分数哪些是真分数，哪些是假分数？

2、把上题中的分数用直线上的点表示出来。看一看，表示真分数的点和表示假分数的点分别在直线的哪一段上？
四、教学例3
1、课件出示例3.
师：请同学分母讨论，怎样把假分数化成整数或者带分数呢？学生讨论后汇报结果，学生独立完成。

（1）
=3÷3=1
=8÷4=2
（2）
=7÷3=2

=6÷5=1

师小结：根据分数与除法的关系，假分数化成整数或带分数时，用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数；当分子不是分母的倍数时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子、分母不变。
2、巩固练习：教材第54页“做一做”第2题。
学生独立完成，老师巡视指导。
五、课堂总结
这节课你有什么收获？

板书设计
第1节
第2节
第3节

第4节 分数的基本性质
教学内容：
第4节 分数的基本性质
人教版小学数学五年级下册第57页。
教学目标：
知识与技能：通过教学使学生理解和掌握分数的基本性质，能运用分数的基本性质吧一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数，并能应用这一性质解决简单的实际问题。
问题解决与数学思考：引导学生在参与观察、比较、猜想、验证等学习活动的过程中，有条理、有根据地思考、探究问题，培养学生的抽象概括能力。
情感态度与价值观：渗透初步的辩证唯物主义思想教育，使学生受到数学思想方法的熏陶，培养乐于探究的学习态度。
教学重点：理解和掌握分数的基本性质。
教学难点：应用分数的基本性质解决问题。
教具学具：没人3张同样的正方形和长方形纸片。
教学设计：
一、内容导入
1.学习例1。
让学生拿3张同样的正方形或长方形纸片，分别对折一次、两次、四次，平均分成2份、4份、8份，涂上颜色，分别用分数表示涂色部分。
提示：你发现了什么？
板书：
=
=

师：为什么相等？
2.引导学生观察它们的分子、分母各是按照什么规律变化的。学生以小组为单位讨论，派代表发言。
学生汇报，老师板书。


=
=

=
=


（从左往右观察）

=
=

=
=


（从右往左观察）
3.提问：你还能举出这样的例子吗？
学生举例，教师分别板书。
4.观察以上例子，你得出什么结论？（学生讨论，汇报）
板书：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
提问：为什么0要除外？（学生讨论）
小结：分子和分母如果都乘上0，则分数成为
，而分数的分母不能为0；又因为0不能作除数，所以分数的分子和分母也不能同时除以0.
5.提问：你能不能根据分数与除法的关系和商不变的性质来说明分数的基本性质？
6.出示例2。
把
和
化成分母是12而大小不变的分数。
（1）提问：谁能说一说在审题过程中要注意什么？
（2）学生审题，分析要点：①分母是12；②大小不变。
（3）提问：想一想，怎样使分母变为12？要使分数大小不变，分子应怎样变？学生思考后再回答，然后请学生试着在课本上填写。
老师以
为例提示：先想分母3怎样变成12，再想要使分数大小不变，分子应该怎样变化。
板书：
=
=

=
=

提问：你是根据什么知识解决这个题的？应注意什么问题？
小结：注意分子和分母要同时乘或除以0以为的相同数。
二、巩固练习
1.在小面的括号里填上适当的数。
9÷15=
=

=6÷（ ）=（ ）÷6
2.写出比
小而比
大的4个分数。
三、课堂小结
这节课你学会了什么？有哪些收获？
四、巩固练习
教材第58页练习十四第6、7题。
学生独立完成，教师巡视指导。

板书设计：
分数的基本性质
出示例1：

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
例2：
=
=

=
=

第5节 最大公因数

教学内容：
人教版小学数学五年级下册第60～62页。
教学目标：
知识与技能：结合具体生活情境，通过确定取值范围、动手操作验证、全班交流，经历公因数和最大公因数的产生，并理解其意义。
问题解决与数学思考：在解决实际问题的过程中，通过独立尝试、全班交流，探究求最大公因数的方法，并会求100以内两个数的最大公因数，感知公因数和最大公因数在生活中的广泛应用。
情感、态度和价值观：在自主探索与合作交流学习的过程中，渗透集合思想，培养学生的分析、归纳和解决问题的思维能力。
教学重点：1.通过对实际问题的解决，理解公因数和最大公因数的意义。
2.通过独立尝试、全班交流，探究求最大公因数的方法，并会求100以内两个数的最大公因数。
教学难点：结合具体情境理解公因数及最大公因数的意义，建立公因数和最大公因数与实际生活问题的联系。
教具学具：课件
教学设计：
一、活动引入
师：在上课之前先点到，抽查部分同学是否来了，点到时要用到找因数的一些知识，点到的同学请站起来说，如“5号到”。听明白了没有？
师：8的最小因数和最大因数，到了没有？
生1:1号到。
生2:2号到。
生4:4号到。
教师重申要求，学生回答。
生1:1号到。
生8:8号到。
师总结：一个数的最大因数是它本身，最小因数是1.
师：6的因数，到了没有？
生1:1号到。
生2：2号到。
生3：3号到。
生6:6号到。
师总结：一个数的因数是有限的。
师：2的倍数到了没有？
生2:2号到。
生4:4号到。
……
师总结：一个数的倍数是无限的。这些都是我们以前学过的知识，我们今天学习新的知识，运用这些知识可以解决生活中的一些问题。你们有没有信息学好啊？
生齐答：有。
设计意图：教学一开始就应该直切主题，做到未雨绸缪，避免学生在不必要的地方出现错误、浪费时间，同时也培养学生认真分析、理解题意的 好习惯。
二、自主探索（交流总结找两个数的公因数的方法）
1.认识公因数
师：你能找出这两个数都有的因数吗？（教师板书）
8的因数：
12的因数：
学生在练习本上做，教师巡视。
学生汇报，教师随学生回答板书。
生1:8的因数有1,2,4,8.
生2:12的因数有1,2,3,4,6,12.
教师介绍集合。
师：给大家介绍一下，我把8的因数可以放在这个圈里，那么这个圈在数学里叫集合圈。我也可以把12的因数放在另一个集合圈里。那么我现在把这两个圈相交，请你填写8和12的因数，那么中间相交部分应该填什么？
生：它俩共有的因数。
师：对了，现在请你们在练习本上填一填。
学生填写，教师巡视。
指名学生填写：学生将共有的部分填在了公共部分。同时8和12的集合圈里也把这几个因数填上了。
师：有没有同学和她写的不一样呢？
生：中间部分有的，那两个圈里就不应该再写了。
师：为什么不应该写呢？
生：因为重复了。
师：对，重复的不用填写了，但是每个集合圈里还是包含重复部分的数字的。现在请你思考一下，两个集合圈里的共有部分：1,2,4是谁的因数？
生：是8和12的因数。
设计意图：利用两个可以移动的椭圆圈来代替集合图，学生可以直观地感受到集合图需要重叠一部分表示公因数的位置，体现了数形结合的数学思想。此时又要求学生用这种表示方法完成例1的内容：表示出8和12的因数和公因数。两个环节前后呼应，既为新授，又互为巩固。
2.认识最大公因数。
师：对，两个数公有的因数叫做这两个数的公因数。公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数，揭示课题。
师：所以8和12的最大公因数是4.
师：现在请你和同桌之间讨论一下我们是用什么方法找到最大公因数的？
学生讨论汇报。
生：先找出各个数的因数，再找出两个数公有的因数，最后确定最大公因数。
师：我们还有别的方法找一个数的最大因数吗？动脑筋想一想？
师简单介绍排他法。（举例子：15和50）
师：我们可以先找出15的因数。
学生口答：1,3,5,15。
师：然后想一想这里面哪些是50的因数。
生答：1、5.
师：最后我们看一下最大的因数是5，那么5就是它们的最大公因数。
设计意图：鼓励学生用自己的方法求两个数的公因数和最大公因数，并学会在比较中择优。
3.师：同学们，如果现在给你一组数，你能找出它们的公因数和最大公因数吗啊？
出示18和27.
学生在练习本上做，教师巡视指导。
学生汇报。
生：它们的最大公因数是9.
师：谁来说一说找的过程？
师随学生回答简单介绍短除法。
三、分小组练一练（找每组数的最大公因数）
师：现在，同学们已经学会了找最大公因数的方法，老师给你们出几组数，看看在完成这几组题的时候，你能不能发现点什么？
教师出示小黑板：
找一找每组数的最大公因数。
1.（1）8和16 4和8 9和3
观察每组数，我们发现：（ ）
（2）5和7 2和5 11和19
观察每组数，我们发现：（ ）
（3）8和9 15和16 5和6
观察每组数，我们发现：（ ）
学生分组做题，教师巡视。
指名学生回答第一组答案。
生：8和16的最大公因数是8,4和8的最大公因数是4,9和3的最大公因数是3。
师：观察一下，你发现了什么？
生1：大数是小数的倍数。
生2：是倍数关系时，最大公因数是小数。师总结规律：两数时倍数关系，最大公因数是较小数。
师：请你现在迅速第说出6和18的最大公因数。
生齐答：6。
师：那9和27呢？
生：9.
指名学生回答第二组答案。
生：5和7的最大公因数是1,2和5的最大公因数是1,11和19的最大公因数是1.
师：观察这组数，你有什么发现？
生：它们的最大公因数都是1.
生：这组数都是质数。
师总结规律：两数是不相同的质数，最大公因数是1.指名学生回答第三组答案。
生：8和9的最大公因数是1,15和16的最大公因数是1,5和6的最大公因数是1。
师：观察这组数，你有什么发现？
生：这组数都是相邻的数，它们的最大公因数是1。
师总结规律：两数是相邻的自然数（0除外），最大公因数是1。
师：请你现在迅速地说出2和3的最大公因数。
生齐答：1。
师：那2和11呢？
生：1.
……
设计意图：让学生接触两类特殊数的最大公因数：一是两数存在因数和倍数的关系，二是两数互质。
四、巩固拓展，引导联系实际
师：学数学就要用数学，学好了可以帮我们解决身边的很多问题。
小黑板出示：
小琳的房间是长方形，长45分米、宽30分米，小琳的爸爸准备装修，要在地面上铺正方形的地面砖，要选边长为几分米（整数）的