4、约分
第一课时最大公因数
教学内容：人教版小学数学五年级下册第60～62页。
教学目标：
知识与技能：结合具体生活情境，通过确定取值范围、动手操作验证、全班交流，经历公因数和最大公因数的产生，并理解其意义。
过程与方法：在解决实际问题的过程中，通过独立尝试、全班交流，探究求最大公因数的方法，并会求100以内两个数的最大公因数，感知公因数和最大公因数在生活中的广泛应用。
情感、态度和价值观：在自主探索与合作交流学习的过程中，渗透集合思想，培养学生的分析、归纳和解决问题的思维能力。
教学重点：
1.通过对实际问题的解决，理解公因数和最大公因数的意义。
2.通过独立尝试、全班交流，探究求最大公因数的方法，并会求100以内两个数的最大公因数。
教学难点：结合具体情境理解公因数及最大公因数的意义，建立公因数和最大公因数与实际生活问题的联系。
教学设计：
一、复习导入
1.教师提问：什么是因数？因数有什么特点？
学生回顾前面的知识，在小组中交流后汇报，老师总结使学生了解因数的几个特点：
（1）最小的因数是1，最大的因数是它本身；
（2）因数的个数是有限的；
（3）一个数除以它的因数，商一定是自然数（0除外）。
2.写出16和12所有因数。学生独立练习，然后交流检查。
教师提问：你是怎样找一个数的因数的？（组织学生交流，再说一说）
二、新课讲授
1.教学公因数和最大公因数。
（1）出示教材第60页例1。
（2）找出8的因数。（1、2、4、8）
（3）找出12的因数。（1、2、3、4、6、12）
（4）再找12、8的因数中两个数的公有因数。（1、2、4）
电脑课件呈现：


指出：1、2、4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中，4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
教师适时引出课题，并板书：最大公因数。
2.组织小练习。
（1）完成教材第61页的“做一做”第1题。
（2）完成教材第61页的“做一做”第2题，说一说哪几个数写在左边，哪几个数写在右边，哪几个数写在中间。


（3）完成教材第63页练习十五的第1题。请学生填在教材上，说一说是怎样找的。
3.教学求两个数的最大公因数的方法。
（1）出示教材第60页例2：怎样求18和27的最大公因数？
（2）学生先独立思考用自己想到的方法试着找出18和27的最大公因数。
（3）小组讨论，互相启发，再在全班交流，学生可能会说出：
方法一：


先分别写出18和27的因数，再圈出公有的因数，从中找到最大公因数。
方法二：先找出18的因数，再看18的因数中有哪些是27的因数，再看哪个最大。


方法三：先写出27的因数，再看27的因数中哪些是18的因数。从中找出最大的。


（4）引导学生看教材第61页的“你知道吗”，指导学生自学分解质因数的方法，找两个数的最大公因数。


24和36的最大公因数=2×2×3=12
指出：两个数所有公因数的积，就是这两个数的最大公因数。
（5）巩固小练习：完成教材第61页的“做一做”第2、3题。
第2题：学生根据所学知识站队，并说出这样站队的道理。
第3题：学生先独立观察每组数有什么特点，再进行交流。
小结：求两个数的最大公因数有哪些特殊情况？
两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。
当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数也是1。
三、巩固练习
1.完成教材第63页练习十五的第2题。
学生先独立完成，然后集体交流找最大公因数的方法，并将这8组数分为三类：一类是最大的公因数是1，（如5和9，15和16）；一类是最大公因数是较小的数本身（如34和17、16和48、13和78）；另一类是一般情况。
此题渗透了互质数组成的几种情况，练习时，教师可先让学生回忆质数和合数的概念，然后让学生独立完成，然后全班反馈。
四、课堂小结：通过这节课的学习活动，你有什么收获？学生畅谈学习所得。
五、课后作业.完成教材第63页练习十五的第3、4题。
板书设计
最大公因数
两个数公有的因数叫做它们的公因数；其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
8和12的公因数：1、2、4
8和12的最大公因数：4

第二课时最大公因数（2）
教学内容：利用最大公因数知识解决生活中的实际问题(教材第62页的例3，及教材第63～64页练习十五第5～11题)。
教学目标
知识与技能：进一步理解公倍数、最小公倍数的概念。
过程与方法：通过解决实际问题，初步了解两个数的公因数和最大公因数在现实生活中的应用。
情感态度与价值观：在探索新知的过程中，培养学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。
教学重点难点：能正确判断生活中的实际问题是要利用最大公因数知识来解决,并能说出这样想的道理。
教学过程
一、复习导入
1.什么是公因数?什么是最大公因数?
2.找出每组数的最大公因数。
5和15 21和28 30和18 8和9
11和33 60和48 12和42 4和15
在现实生活中,有的问题需要用最大公因数的知道来解决,这就是我们今天要学习的内容。
板书课题: 最大公因数(2)。
二、新课讲授
出示教材第62页例3。
（1）引导学生审题，理解题意。在贮藏室的长方形地面上铺正方形地砖。要求既要铺满，又要都用整块的方砖。
（2）学生以小组为单位，探究如何拼摆。
每组4人，在课前印好画有长方形的方格纸，每人选择一种边长的方砖，试一试，只要画满一条长边，一条宽边就可以。
教师巡视指导，辅导学生。
（3）多媒体演示拼摆过程，进一步验证学生动手操作的情况。
（4）教师：应该怎样选择方砖来铺地呢？
通过交流，得出结论：要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。
(5)12和16的公因数有1、2、4，其中最大公因数是4。所以可选边长是１dm、2dm、4dm的地砖，边长最大的是４dm。
三、巩固练习
完成教材第63～64页练习十五第5、8、9题。
1.完成教材第63页练习十五的第5题。
此题是有关两数最大公因数的实际问题。教师要引导学生理解题意，要剪成“同样大小的正方形而没有剩余”。正方形的边长必须既是70的因数又是50的因数，要使正方形的边长最大，所以要找70和50的最大公因数。学生弄清题意后，由学生独立完成，然后全班反馈。
4.完成教材第64页练习十五第8题。
此题检验学生公因数是1的数的几种情况,答案不唯一。
5.完成教材第64页练习十五第9题此题检查学生当两数是倍数关系、互质关系、一般关系情况下求最大公因数的能力。
四、课堂小结： 通过这节课的学习，你有什么收获？
五、课后作业：完成教材第63～64页练习十五第6、7、10、11题。
板书设计
最大公因数(2)
几个数公有的因数叫做它们的公因数，公因数中最大的因数叫它们的最大公因数。
（1）两个数没有特殊关系，用列举法找出它们的最大公因数。
（2）两个数是倍数关系，它们的最大公因数是较小数。
（3）两个数公因数只有1，它们的最大公因数是1。
第三课时约 分
教学内容：最简分数的意义和约分的意义（教材第65页的例4及“做一做”，第66页练习十六的第1~4题）。
教学目标：
知识和技能：通过学生自主尝试以及自学交流，使学生理解约分和最简分数的意义。
过程与方法：通过学生独立思考、小组合作交流，使学生掌握约分的方法，并能够正确、熟练地进行约分。
情感、态度和价值观：通过学—导—教的问题解决的过程，培养学生独立思考、小组交流解决问题的能力，让学生感悟到合作学习的魅力。
教学重点：理解约分和最简分数的意义；掌握约分的方法。
教学难点：能准确判断约分的结果是不是最简分数。
教学过程：
一、复习导入
1.提问：你能很快找出下面各组数的最大公因数吗？
9和18 15和21 7和9
4和24 20和28 11和13
2.提问：你是怎样找出两个数的最大公因数的？求两个数的最大公因数有几种情况？教师引导学生回顾
小结：求两个数的最大公因数时，有两种特殊情况：一种是两个数成倍数关系，较小的数就是两个数的最大公因数；另一种是两个数的公因数只有1，它们的最大公因数就是1。
二、新课讲授
1.出示教材第65页例4：把
化成最简分数。
（1）学生先尝试把2430化成最简分数，引导学生想出多种方法进行约分。
方法一：用分子、分母的公因数，逐次去除分子和分母，然后得到最简分数。


方法二：用分子、分母的最大公因数，分别去除分子和分母，得到最简分数。


（2）教师：怎样进行约分？
引导学生概括出方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除。
（3）指出：像这样，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（板书）
约分时，还可以怎样写呢？请同学们看教材第65页的例4，试着自己写一写。学生汇报约分的写法，老师板书。

或

提问：怎样约分比较简便？
小结：如果一下子能看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公因数去除比较简便。
2.完成教材第65页“做一做”。学生独立完成集体订正，第2题先判断哪些是最简分数，再把不是最简分数的化成最简分数。
三、巩固练习
完成教材第66页练习十六的第1—4题
四、课堂小结
这节课我们学习了什么叫最简分数和怎样约分。在约分时，直接用分子和分母的最大公因数去除分数的分子和分母，得到最简分数，这种方法最简便。
板书设计
约分（1）


分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

或

第四课时 约分（2）
教学内容： 约分练习课(教材第66～67页练习十五第5～14题)。
教学目标
知识与技能：通过教学，巩固学生对最简分数和约分的概念的理解，能熟练应用约分的方法，
过程与方法：使学生进一步理解约分的数学根据是分数的基本性质，形成约分的技能，感受约分的应用价值。
情感态度与价值观：使学生在自主探索、合作交流中，体验成功的愉悦，进一步树立学好数学的自信心，发展对数学的积极情感，培养学生主动学习和独立思考的习惯。
教学重点： 正确、熟练地进行约分。 
教学难点 ：巩固学生对最简分数和约分的概念的理解，能熟练应用约分的方法，正确地约分。
教学过程：
一、复习导入
1.提问：什么叫最简分数？什么叫约分？怎样约分？
2.指出下面哪些分数是最简分数。
。
3.记住约分的规则:约分时，通常要约成最简分数。
二、课堂作业
1.完成教材第66～67页练习十六第5～14题。
（1）第7题：此题是判断哪几个分数是相等的，然后在直线上把这个点画出来。练习时，教师先引导学生观察，将这几个分数进行约分，然后在直线上画出表示该数的点，本题给出的5个分数，三个相等，另两个相等，所以直线上只要画2个点就可以了。
（2）第9题：此题也是“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题。练习时教师引导学生根据插图中的两个时钟，求出小明每天的睡眠时间，然后再和全天24小时进行比较。
（3）第14题：这题要求学生逆向思考，教师先让学生理解题意，“用2约了两次，用3约了一次。”说明原来的分数在约分过程中分子和分母同除以2×2×3=12，才得到
，要求原来的分数，就要把53、64、18、129、107、1015、1516的分子、分母都乘12，即可得到原来的分数。
2.完成教材第66页练习十六第5题。
此题是“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题。练习时先让学生根据分数的意义直接写出答案，也可以根据分数与除法的关系列出除法算式，再写出答案，要求学生做出的结果必须用最简分数表示，反馈时，让学生说说思考的过程。
3.完成教材第66页练习十六第8题。
此题是“求两个数的最大公因数”的实际问题。学生人数必须既是练习本总数的因数，又是铅笔总数的因数才能都没有剩余，所以学生人数只能是练习本总数和铅笔总数的公因数，求最多能分给多少名学生就是求公因数中最大的那个，也就是求最大公因数。
4.完成教材第67页练习十六第10题。
学生独立完成后集体订正。
5.完成教材第67页练习十六第11题。
学生独立完成后集体订正，要求学生注意解题格式。6.完成教材第67页练习十六第12题。此题是“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题。解答时要注意让学生找准数量关系。
三、课堂小结
本节课我们复习了上节课学习的有关约分的知识。通过本节课的学习，我们要能熟练、正确进行约分，并能灵活运用有关约分的知识解题。
板书设计
约分（2）
1.什么叫最简分数？
2. 什么叫约分？
3. 怎样约分？
4.约分时，我们通常要把分数化简成最简分数为止。
5．通分
第一课时最小公倍数
教学内容：公倍数，最小公倍数的概念及求两个数的最小公倍数的方法（教材第68~69页的例1、例2，及教材第71页练习十七第1~4题）。
教学目标
知识与技能：使学生在具体的操作活动中，认识公倍数和最小公倍数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数。
过程与方法：使学生学会用列举的方法找到10以内两个数的公倍数和最小公倍数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，进行有条理的思考。
情感态度与价值观：使学生在自主探索与合作交流的过程中，进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验。
教学重点：学生学会用列举的方法找到10以内两个数的公倍数和最小公倍数。
教学难点：并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，进行有条理的思考。
教学过程：
一、复习导入
写出下面各数的倍数。（各写5个）
3的倍数有：（ ）
2的倍数有：（ ）
2.学生汇报填写结果，教师板书记录。
3.说一说，你对倍数有什么了解。学生回答内容要求包含：
（1）一个数最小的倍数是它本身。
（2）一个数的倍数有无数个，没有最大的倍数。
二、新课讲授
1.最小公倍数。
课件呈现：
（1）提出问题、投影呈现教材68页例1.
（2）学生交流合作，得出结论，同时课件呈现下图
4的倍数


6的倍数


（3）12,24,36，……是4和6公有的倍数，叫它们的公倍数。
我们还可以这样表示：


并指出：其中，12是最小的公倍数，叫做他们的最小公倍数。
（4）想一想，两个数有没有最大的公倍数？
（5）巩固练习。完成教材第68页“做一做”。
指名学生回答，集体订正。
2.求两个数的最小公倍数。
（1）出示教材第69页例题2。
（2）学生尝试练习。由学生自主探索有效解决问题的方法。
（3）汇报探索结果
学生可能出现以下几种方法：
方法一：先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。


方法二：先分别写出8的公倍数，再从小到大圈出6的公倍数，第一个圈出的就是它们的最小公倍数。
方法三：先写出6的倍数，再看6的倍数中哪些是8的倍数，从中找出最小的。
（4）观察一下：两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间有什么关系？组织学生观察，然后在小组中讨论交流，使学生明确：两个数的公倍数就是它们最小的公倍数的倍数。
（5）即时巩固。
完成教材第69页的“做一做”。
学生独立完成，找出各组数的最小公倍数。
②点学生回答，说一说你是怎样找的。
③你有什么发现呢？组织学生观察讨论并交流。
教师小结：a.如果两个数成倍数关系，那么其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。
b.如果两个数只有公因数1，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的积。
三、课堂作业
完成课本第71页练习十七的第1~4题。
1.学生独立完成1~3题，巩固求最小公倍数的方法。
2.学生独立完成第4题，说说判断的理由是什么？
四、课堂小结
同学们，今天我们知道了什么是公倍数、最小公倍数以及最小公倍数的求法，通过今天的学习，你有新的收获吗？
板书设计
最小公倍数（1）
两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数


第二课时最小公倍数（2）
教学内容：利用最小公倍数知识解决生活中的实际问题(教材第70页的例3，及教材第71～72页练习十七第5～12题。)。
教学目标
知识和技能：学生在用长方形拼正方形的活动中，体验并理解公倍数与最小公倍数的含义，会在集合图中表示两个数的倍数和公倍数。
过程与方法：通过解决实际问题，初步了解两个数的公倍数和最小公倍数在现实中的应用。
情感、态度和价值观：在探索交流的过程中，使学生获得成功的体验，感受数学与实际生活的密切联系，提高学习数学的兴趣。
教学重点：理解公倍数与最小公倍数的含义。
教学难点：从动手操作的活动中抽象出公倍数的概念。
教学过程
一、复习导入
求下列各数的最小公倍数。
6和8 15和12 4和6
8和24 9和54 12和36
8和9 5和12 13和5
问：你能总结一下找两个数最小公倍数的方法吗？
二、新课讲授
出示教材第70页例3。
（1）创设情境，提出问题。投影呈现情景图。（见教材第70页）
教师：如果用这种墙砖铺一个正方形墙面（用的墙砖必须是整块的），正方形墙面的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
（2）学生讨论，探索结果。
教师引导学生讨论以下两点内容：
①“用的墙砖必须是整块”是什么意思？
②墙面的边长与墙砖的长、宽有什么关系？
③正方形的边长可以有多少种？最小的是多少？
（3）教师引导，解决问题，学生动手操作。
①假设墙面的边长是10dm，可以怎样铺，铺的结果怎样？（有剩余面积，不符合题目要求）
原因：10不是3的倍数。
②假设墙面的边长是9dm，可以怎样铺，铺的结果怎样？（有剩余面积，不符合题目要求）
原因：9不是2的倍数。
③假设墙面的边长是6dm，可以怎样铺，铺的结果如何？（没有剩余面积，符合题目要求）原因：6既是3的倍数，又是2的倍数。
（4）教师引导提问：墙面的边长除了6dm，还可以是多少？最小是多少？
学生通过交流，讨论得出结果：墙面的边长还可以有12dm、18dm、24dm等等，最小的是6dm。原因：这些数既是3的倍数，又是2的倍数。结果：正方形墙面的边长必须既是3的倍数，又是2的倍数。
（5）2和3的公倍数：6、12、18、…其中最小的是6.所以可以铺的正方形的边长会有很多个：6dm、12dm、18dm、…，边长最小的是6dm.
三、课堂作业
完成教材第71～72页练习十七第5、6、8、12题。
1.指导学生完成第5题。
2.指导学生完成第6题。
教师要引导学生理解题意，至少要多少天以后给这两种花同时浇水，说明浇水的天数既是4的倍数，又是6的倍数。至少是最少的意思，所以要找4和6的最小公倍数。
3.学生独立完成第8题。
4.指导学生完成第12题。
这题是个思考题，练习时先让学生分小组来讨论完成。解题思路是：先从小到大写出36的所有因数，然后从中依次观察，哪两个数的最小公倍数是36。
四、课堂小结： 通过这节课的学习，你有什么收获？
五、课后作业：完成教材第71～72页练习十七第7、9、10、11题。
板书设计
最小公倍数（2）
几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，几个数的公倍数中最小的数是它们的最小公倍数。
（1）两个数没有特殊关系，用列举法找出它们的最小公倍数。
（2）两个数是倍数关系，它们的最小公倍数是较大数。
（3）两个数公因数只有1，它们的最小公倍数是它们的积。

第三课时通分（1）
教学内容：人教版小学数学五年级下册第73——74页
教学目标
知识和技能：理解通分的意义及初步掌握通分的方法，会比较分数的大小。
过程与方法：培养学生的观察能力、分析能力和归纳概括能力。
情感、态度和价值观：培养学生自主探究的精神，让学生体会数学与生活的紧密联系，树立学好数学的信心。
教学重点：理解通分的意义，会通分。
教学难点：比较分数的大小。
教学过程：
一、复习导入
提问：1.
的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。
2.
与
，哪个大，为什么？
教师：怎样比较它们的大小呢？今天，我们来探究一种新的方法，可以比较出它们的大小。
板书课题：通分。
二、新课讲授
1.出示教材第73页例4。（出示世界地图）你知道地球上的陆地多还是海洋多吗？（学生观察图进行判断）
再出示条件：陆地面积约占地球总面积的
，海洋面积约占地球总面积的
。
（1）放手让学生根据条件自己比较，学生相互交流方法、结果及理由。
（2）小结：要比较陆地面积和海洋面积谁大，就是要比较
和
的大小。
是3个
，
是7个
，所以
大于
。
（3）比较下面各组分数的大小。


学生独立完成，口答结果。
提问：以上各组分数有什么共同特点？同分母分数如何比较大小？
（学生归纳同分母分数比较大小的方法）
小结：同分母分数分子大的分数比较大。
（4）再出示：


学生尝试比较上面各组分数的大小。
（5）请学生汇报自己比较的结果及理由。
以
和
为例，学生可以用分数单位的大小推出；因为
＜
,所以3个
小于3个
。
提问：以上各组分数有什么共同特点？分子相同的分数如何比较大小？
小结：分子相同的分数，分母小的比较大，分母大的比较小。
2.出示教材第74页例5。
（1）提问：
和
这两个分数有什么共同特点？
像这样分子和分母都不相同的分数，怎样比较大小？
学生思考并回答，可能出现以下两种思路：
一种是化成同分母分数比较，一种是化成同分子分数比较。
教师指出：这两种思路，都能把新问题转化成已学过的问题。都是可以的，今天我们重点研究化成同分母分数的方法，我们把几个分数的相同分母叫做公分母。
（2）教师提问：用什么数做公分母？怎样把异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数？
学生独立思考。尝试解答，然后在小组内交流。
（3）请学生汇报解答过程。
先求出
和
的分母的最小公倍数是20，用20作公分母。
板书：


（4）教师提问：根据是什么？（分数的基本性质）
教师指出：异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（板书课题：通分）
板书：异分母分数
同分母分数
（5）教师提问：你能说一说怎样通分吗？（学生用自己的语言归纳）
小结：通分时，先求出原来分母的最小公倍数作分母，再看原来分数的分母变成公分母要乘上几，分子也要乘上相同的数，提问：为什么用两个分母的最小公倍数作公分母，用其他较大的公倍数作公分母可以吗？
（6）在通分的基础上，比较
和
的大小，让学生完整写出例4的比较过程。




三、.巩固练习。
（1）完成教材第73页的“做一做”。
判断时要求学生说出根据。
（2）完成教材第74页“做一做”。
四、课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？学生交流学习的收获。
五、课后作业：完成教材第75页练习十八的第1~3题。
板书设计
通分(1)
例3：

例4：



把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。异分母分数
同分母分数
第四课时通分（2）
教学内容： 通分练习课(教材第75～76页练习十八第4～12题)。
教学目标：
知识与技能：进一步理解通分的意义，熟练掌握通分的方法，并能进行两个以上分数的通分。
过程与方法：熟练掌握分数大小比较的方法，能将两个以上分数按一定的大小顺序排列。
情感态度与价值观：.经历数学学习活动，形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力与创新精神。
教学重点：三个分数通分的方法、能很快找出三个分数分母的最小公倍数。
教学难点：.熟练掌握求两个分数分母的最小公倍数的方法，以及求具有倍数关系的两个数的最小公倍数的方法。
教学过程
一、复习导入
1.回答下列问题。
（1）你是如何比较分数大小的？
①同分母分数的比较；同分子分数的比较。
②异分母分数的比较；异分子分数的比较。
（2）什么叫做通分？
2.找出下列各组数的最小公倍数。（小黑板出示）
8和6 15和25 16和40
3和4 5和9 12和7
2和6 6和18 15和30
说一说，找最小公倍数的方法，及简便方法。
3.给下列各组分数通分。


学生练习，指名板演，最后全班同学评价。
二、新课讲授
1.呈现情境图。（课文第75页练习十