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3.2 一元二次不等式及其解法
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一元一次不等式可用图象法求解
练习1.求方程
的根？
一元二次不等式
5
函数
方程
不等式
方程的解
不等式的解集
不等式的解集
y>0
y>0
y<0
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
关键在于快速准确捕捉图像的特征
一元二次不等式可用图象法求解
几何画板
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
问：y= ax2＋bx＋c（a>0）的图象与x轴的交点情况有哪几种？
△>0
有两相异实根
x1, x2 (x1{x|xx2}
{x|x1< x △=0
△<0
有两相等实根
x1=x2=
{x|x≠ }
Φ
Φ
R
没有实根
函数 、方程、不等式之间的关系
y>0
y>0
y>0
y<0
求解一元二次不等式ax2+bx+c>0
(a>0)的程序框图:
x< x1或x> x2
点评
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
所以,原不等式的解集是
先求方程的根
然后想像图象形状
注:开口向上,大于0
解集是大于大根,小于小根
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
注:开口向上,小于0
解集是大于小根且小于大根
图象为:
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:
(1)先求出Δ和相应方程的解，
(2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
若a<0时,先变形!
再看一例
练习1.解不等式 4x2－4x＋1 > 0
注:4x2－4x＋1 <0
例2.解不等式 －3x2＋6x > 2
解: ∵－3x2＋6x > 2
3x2－6x＋2 < 0
∵方程的解3x2－6x+2 =0的解是
所以,原不等式的解集是
例4.解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0
注:x2 -2x+3 >0
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
小结：
3.2一元二次不等式及其解法2
一 复习回顾：
1.“三个两次”之间的联系
练习（1）已知函数
的图像与X轴两个交点横坐
标为-1，2，则当x满足＿＿时
当x＿＿时
（2）若方程
无实数根，则不等式
的解集为＿＿.
2.一元二次不等式的求 解流程：
一化，二判，三求，四画，五解集
例1. x2 + 5ax + 6 > 0
解：由题意，得：⊿=25a2－24
1.当⊿=25a2－24>0 ，
2.当⊿=25a2－24=0 ，
3.当⊿=25a2－24<0,
解集为：
解集为：
解集为：R.
二、典型题选讲
（ 含参不等式的解法）
变式1. x2 + 5ax + 6a2 > 0
解：因式分解，得:（x+3a)(x+2a) > 0，
方程（x+3a)(x+2a) ＝0的两根为－3a、－2a.
①当－3a >－2a 即a <0时，
解集为：{x︱x>－3a 或 x<－2a};
②当－3a =－2a 即a =0时，
解集为：{x︱x∈R且x≠0}；
③当－3a <－2a 即a >0时，
综上：
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a};
解集为：{x︱x> －2a 或 x< －3a}.
原不等式为 x2>0
变式2. ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
二、当a≠0时，
①当a<0时，
一、当a=0时，
②当a>0时，
⑴
⑶
⑵
∴综上，得
注： 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨
论的标准有：
1、讨论a 与0的大小；
2、讨论⊿与0的大小；
3、讨论两根的大小；
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
例题：已知关于x的不等式：
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，
解：由题意知：
①当a -2=0，即a =2时，不等式化为
②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
综上：
试求a的取值范围.
1 ≥ 0，它恒成立，满足条件.
知识概要
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立
（4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
(二)含参不等式恒成立的问题
三、课堂小结
1 、解含参数的不等式
2、已知不等式的解集，求参数的值或范围
不等式中的恒成立问题
一、内容分析
二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想
3、等与不等的化归思想
2、数形结合的思想
一元二次不等式及其解法
练习1：国家原计划以2400元/吨的价格收购某种产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%），为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
