掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法．
会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题．
一元二次不等式的应用
【课标要求】
【核心扫描】
一元二次不等式的应用．(重点)
一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛．
注意实际问题中变量有意义的范围．
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一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是
__________；一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是__________.
自学导引
1．
a>0且Δ<0
a<0且Δ<0
穿针引线法——解简单分式不等式或高次不等式的方法
(1)将不等式化为标准形式；一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积．
(2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出．
(3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)．
(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．
3．
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想一想：用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？________(用“能”或“不能”填空)
提示　能．设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，0＜x＜50.由题意，得x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形
由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论：
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；
名师点睛
1．
一元二次不等式的实际应用
(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环．
(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题．
(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识，数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容．
2．
分离参数法——解不等式恒成立问题
对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
3．
题型一　恒成立问题
当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R?
[思路探索] 不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决．
【例1】
(2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．例如，“已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数．
不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小．
解　原不等式整理得
(a－m＋1)x2＋(a－m)x＋a－m＞0对任意x恒成立．
①当a－m＋1＝0时，原不等式化为－x－1＞0，
即x＜－1，不恒成立．
②当a－m＋1≠0时，由题意知
【训练1】
∵a－m＋1＞0，∴3(a－m＋1)＋1＞1＞0，
∴a－m＞0，∴a＞m.
综上，a与m的大小关系是a＞m.
[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．
【例2】
题型二　分式不等式的解法
规律方法　(1)解分式不等式关键是如何将它转化为同解的整式不等式，化未知为已知．做题时要体会这种转化的思想．
(2)转化的依据是实数运算的符号法则，所以要将不等式一边先化为零．
【训练2】
[思路探索] 解答本题可先移项通分，将各因式最高次项系数化为正，再转化为与它同解的整式不等式求解．用穿针引线法求解集．
【例3】
题型三　 　简单高次不等式的解法
此不等式等价于(x＋1)(x－2)(x－1)2(x＋4)≤0，且x≠1，x≠
－4.分别令各个因式为零，可得根依次为－1,2,1，－4.
在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图
由x轴上的图像可得不等式的解集为{x|x<－4，或－1≤x＜1，或1＜x≤2}．
规律方法　解简单的高次不等式时要特别注意偶次方根要“穿而不过”，也就是要“反弹”起来，遵循“奇穿偶回”的原则．
解　(1)各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为二重根，－1为三重根．在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图
【训练3】
(本题满分12分)汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
审题指导 将文字语言翻译成数学语言，将不等关系转化为不等式问题求解．
【例4】
题型四　一元二次不等式的简单应用
[规范解答] 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1 200＞0，(2分)
解得x＞30，或x＜－40(不符合实际意义，舍去)，(4分)
这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.(6分)
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，(8分)
解得x＞40，或x<－50(不符合实际意义，舍去)，(10分)
这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速．(12分)
【题后反思】 解不等式应用题的步骤：
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原实际问题．
国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【训练4】
所以y≥2 400m×8%×78%，即－44≤x≤2.
又0＜x≤8，所以x的取值范围是0＜x≤2.
解　“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；
“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t，总收购款为2 400m(1＋2x%)元；“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2 400m×8%×78%.设税率调低后的“税收总收入” 为y元，
y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%
[错解] 原不等式可化为x2>1，即(x－1)(x＋1)>0，∴x<－1或x>1，∴原不等式的解集为{x|x<－1，或x>1}．
错解的主要原因是乱去分母．不等式的运算之理不清，不等式两边同乘一个数，是否改变符号？
误区警示　算理不清，胡乱变形而致错
【示例】
由图知
原不等式的解集为{x|－11}．
不等式中不能乱去分母，去分母时要知道分母的符号，最好是移项通分．