3.2　一元二次不等式及其解法
第1课时　一元二次不等式及其解法
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1.解简单的一元二次不等式是本课的热点．
2.常以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低、中档题．
1．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集是 ；当a＜0时，解集是 ；当a＝0，b＞0时，解集是 ；当a＝0，b≤0时，解集是 .
∅
R
2．一位跳台滑雪运动员在90米级跳台滑雪比赛中想使自己的飞行距离超过68.00米，若他以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110千米/小时，那么他能否实现自己的目标呢？
1．一元二次不等式
一般地，含有 未知数，且未知数的最高次数为 的不等式，叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解法
一个
2
{x|xx2}
R
{x|x1∅
∅
1．下列不等式中一元二次不等式的个数为(　　)
①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②2x2－x＞2；
③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0.
A．1　　　 B．2
C．3 D．4
解析：　③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是指数不等式．
答案：　B
2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(　　)
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
解析：　不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故选C.
答案：　C
3．设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7}，则A∩Z中有______个元素．
解析：　(x－1)2＜3x＋7⇔x2－5x－6＜0⇔－1＜x＜6，
∴A＝{x|－1＜x＜6}，∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，
∴A∩Z中有6个元素．
答案：　6
4．解下列不等式：
(1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
解析：　(1)x2＋2x－15＞0⇔(x＋5)(x－3)＞0⇔x＜－5或x＞3，
∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．
(2)x2＞2x－1⇔x2－2x＋1＞0⇔(x－1)2＞0⇔x≠1，
∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}．
(3)x2＜2x－2⇔x2－2x＋2＜0.
∵Δ＝(－2)2－4×2＝－4＜0，
∴方程x2－2x＋2＝0无解．
∴不等式x2＜2x－2的解集是∅.
求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6；(4)－x2＋6x－9>0.
由题目可以获取以下主要信息：
①(1)、(2)题二次项系数为正，(3)、(4)二次项系数为负．
②(1)、(3)题对应方程的判别式大于零．(2)、(4)题对应方程的判别式等于零．
解答本题可先将二次项系数化为正，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集．
(4)原不等式可化为x2－6x＋9<0，即(x－3)2<0，
∴原不等式的解集为∅.
[题后感悟]　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集.
1.求下列不等式的解集．
(1)－2x2＋3x＋2<0；(2)－2x2＋x－6<0；
(3)4x2＋4x＋1>0；(4)x2＋25≤10x.
解关于x的不等式x2＋ax－2a2＜0.
[规范作答]　原不等式可化为(x＋2a)(x－a)＜0
对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a，3分
(1)当a＞0时，x1＞x2，
不等式的解集为{x|－2a＜x＜a}.6分
(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解.8分
(3)当a＜0时，x1＜x2，
不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.10分
综上所述，原不等式的解集为：
a＞0时，{x|－2a＜x＜a}
a＝0时，∅
a＜0时，{x|a＜x＜－2a}12分
[题后感悟]　含参数的不等式的解题步骤为：
(1)将二次项系数转化为正数；
(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；
(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．
另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．
2.解关于x的不等式(a∈R)：
(1)x2－(a＋a2)x＋a3＞0；
(2)ax2－2(a＋1)x＋4＞0.
解析：　(1)原不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0可化为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，a＜a2，
所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，
所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当0＜a＜1时，a＞a2，
所以原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，
所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，
所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．
(2)(ⅰ)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4＞0，解得x＜2，所以原不等式的解集为{x|x＜2}；
(ⅱ)当a＞0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)＞0，
解一元二次不等式解集的一般步骤
(1)化一元二次不等式为标准形式：
ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的简图；
(3)根据图象写出不等式的解集．
当一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0时，要注意解集的端点．
【错因】　解含参数的不等式，分类讨论不完整造成的错误．